第七章 参数单元.pptVIP

有限元法 有限元法 有限元法 有限元法 有限元法 河南科技大学 规划与建筑工程学院 有限元法----目录 第四章 参数单元 4-1 平面四节点等参元 4-2 20节点三维等参元 4-3 一般等参元 从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。 4-1 平面四节点等参元 1、等参变换 将局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几何形状扭曲的单元，以满足任意形状离散的要求。 最方便的变换函数是： m为单元节点数，Ni为局部坐标 下表示的形函数，xi为总体坐标下的节点坐标 对四节点四边形等参元，Ni如右 局部坐标 总体坐标 变换函数 4-1 平面四节点等参元 变换实例 x y z t 3 (1,1) 4 (-1,1) 2 (1,-1) 1 (-1,-1) y =1 =1 =-1 =1 2 (x2,y2) 1 (x1,y1) 3 (x3,y3) 4 (x4,y4) u v P(x,y) 4-1 平面四节点等参元 2、形函数的性质同前 (在矩形单元上的变化如图) 注意：不是直线 4-1 平面四节点等参元 形函数N1的正确表示 直线 直线 （1,-1） 不是平面 4-1 平面四节点等参元 3、等参单元位移函数：单元内任意点p的位移函数(2D)： 其中：Ni和坐标变换式的形函数相同。 4-1 平面四节点等参元 4、等参单元刚阵 1）应变矩阵 注意：应变为位移对x，y的导数，如四节点四边形单元计算式如右： 2）复合求导 利用x，y，z与局部坐标系的关系，有 用于二维等参元 4-1 平面四节点等参元 2）复合求导 记为矩阵(如四节点四边形单元) [J]称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当[J]的逆存在时，则形函数对x，y的导数可求，即应变阵可求。 4-1 平面四节点等参元 应变矩阵 4-1 平面四节点等参元 3）刚度矩阵 一般而言，等参单元的刚度积分很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法。(略) 4-1 平面四节点等参元 4-2 20节点三维等参元 1 图 a 图 b 图 a 和图b中的各点是一一对应的，这种一一对应的映射关系可写为 （1） 1.形状函数 4-2 20节点三维等参元 （2） （3） 2. 单元刚度矩阵 应力与位移的几何关系写成矩阵的形式为 4-2 20节点三维等参元 （4） 按坐标变换式（1）应有 4-2 20节点三维等参元 （5） （6） （7） 3. 荷载分配 1）体积力分配 （8） （9） 4-2 20节点三维等参元 4-2 20节点三维等参元 2）面积力分配 1 图 c (10) 4-2 20节点三维等参元 （11） 4-2 20节点三维等参元 （12） （13） 4-3 一般等参元 等参单元的几何形状以及单元内部的位移都采用同样的节点、同样的形状函数，以节点值插值表示，即 1) 以下为一些二维的四边形单元 4-3 一般等参元 2) 以下为一些三维的六面体单元 3) 以下为一些二维三角形单元 1 2 3 2 1 3 5 4 6 2 3 7 6 5 4 1 9 8 4-3 一般等参元 4) 以下还给出一些不同形状、不同节点安排的单元 等参单元的几点说明： 1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。证明略。 2）等参单元存在的充要条件是： 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。 4-3 一般等参元 3）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。 4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。 5）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。略 6）当然，也