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18.1勾股定理谯城区华佗镇中心学校 王发展 探究 1.如图是一个行距、列距都是1的方格网，在其中作出一个以格点为顶点的直角三角形ABC，然后，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。 思考：三个正方形面积SⅠ、SⅡ、SⅢ之间有怎样的关系？用它们的边长表示，能得到怎样的式子？ 探究 在行距、列距都是1的方格网中，再任意作出几个格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图。并以SⅠ、SⅡ、SⅢ分别表示它们的面积。 探究 观察左图，并填写： SⅠ= 个单位面积， SⅡ= 个单位面积， SⅢ= 个单位面积。 探究 每一个图中的三个正方形面积之间的关系是SⅠ+SⅡ=SⅢ； 用它们的边长表示，就是a2+b2=c2。 交流 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ 定理 直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 如果直角三角形的两直角边用a、b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为a2+b2=c2. 操作 请大家将手中的四个全等的直角边长分别为a、b，斜边为c的直角三角形，拼成如图所示的正方形，并找出图中的面积关系。 3.在直角三角形中，已知两边的长为3和4，求第三边的长. 注意：上面我们用面积计算证明了勾股定理，但这不是惟一的证明方法，请大家阅读课本第15页的《数学史话——勾股定理》。 课堂小结　与同伴交流下面问题。 本节课中我们是如何得到勾股定理的？ 又是如何证明勾股定理的？ 你还了解哪些关于勾股定理的历史和它的证明方法？ * * 与“外星人”联系的“语言” 直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具有一种特定的关系，该关系称为勾股定理，早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用弦图证明了这定理。2002年，世界数学家大会在北京召开，大会会徽上的图形就是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所做的“弦图”。用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定。 本章就来学习勾股定理、它的逆定理以及它们的应用。 2002年世界数学家大会会徽 　　　 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. 商高 《周髀算经》 商高定理 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 勾 股 世 界 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。 邮票赏析 这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。 3 4 5 邮票的秘密 观察这枚邮票图案小方格的个数， 你有什么发现? 32+42=52 3 4 5 32+42=52 观察这枚邮票图案小方格的个数， 你有什么发现? Ⅰ Ⅱ Ⅲ A C B SⅠ+SⅡ=SⅢ A C B b c a Ⅱ Ⅰ Ⅲ A C B c b a Ⅰ Ⅱ Ⅲ A C B b c a Ⅱ Ⅰ Ⅲ 9 9 18 P Q C R 观察上图，并填写：SP= 个单位面积，SQ= 个单位面积，SR= 个单位面积。 用了“补”的方法 P Q C R 用了“割”的方法 Q 9 16 25 A C B b c a Ⅱ Ⅰ Ⅲ A C B c b a Ⅰ Ⅱ Ⅲ 下面每一个图中的三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长表示。 ┏ a2+b2=c2 a c b 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾 股 弦 勾股定理 (毕达哥拉斯定理) 　 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上