第四节二阶常系数线性微分方程.pptVIP

第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的性质 （一）二阶线性齐次方程解的性质 （二）二阶线性非齐次微分方程解的性质 二、二阶常系数齐次线性方程的解 小结 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解 一、 型 二、 * 一、线性微分方程解的性质 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解 (一)定义： (二)性质： 解的叠加性 此时， 中只含一个任意常数，因此，叠加起来的解不是方程 （2）的通解。 注：性质4说明，若非齐次方程的非齐次项由若干 项和组成，那么求解时，可将每个函数作为非齐次项求解，然后将解相加即可。 由性质2知，求方程的(3)的通解，关键在于找到它的两 个线性无关的特解。 由于方程(3)关于 具有线性和常系数的特点 ， 因此，所找的函数也应具备这一特点。 称一元二次方程（4）为微分方程（3）的特征方程，其根为特征根 因特征根有三种情况，因此，方程(3)的通解也有三种情况： 得方程(3)的通解为 由性质1可知，函数 也是方程(3)的解，且线性无关 综上得：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必积 分，只要求出特征方程的根，便可写出。 （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 具体步骤如下： (见下表) 微分方程 的通解 特征方程 的根 特征方程根 的判别式 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 设非齐方程特解为 代入原方程得 综上讨论 解 （1）对应齐次方程的特征方程为： 因此，齐次方程的通解为： （2）求所给方程的一个特解 代入所给方程得： 所以，可设 解 （1）对应齐次方程的特征方程为： 因此，齐次方程的通解为： （2）求所给方程的一个特解 代入所给方程得： 所以，可设 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 利用欧拉公式及（一）的结论得： *