3[1].6函数的单调性.pptVIP

1.会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系，并会灵活应用。 2.通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力，增强数形结合的思维意识。 函数y=f(x)在给定区间G上,当x1、x2∈G 且x1＜x2时 y x o a b y x o a b 1)都有f(x1)＜f(x2)， 则f(x)在G上是增函数； 2)都有f(x1)＞f(x2)， 则f(x)在G上是减函数； 若f(x)在G上是增函数或减函数， 则f(x)在G上具有严格的单调性。 G称为单调区间 G=(a,b) 问题1:怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？ (1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个 局部概念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 问题2:用定义证明函数y=x2－4x＋3的单调性. 解：取x1x2,,x1、x2∈R， f(x1)－f(x2)=(x12－4x1＋3)－(x22－4x2＋3) =（x1+x2)(x1－x2)-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1x22时， x1+x2－40， f(x1)f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(-∞,2)单调递减． 当2x1x2时， x1+x2－40， f(x1)f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(2,+∞)单调递增． 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）． 0 y x 1 2 -1 -2 单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞） 问题3：讨论函数y=x+ 的单调性。 x 1 单减区间：(-1，0)和 （0，1） 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时，如： 是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过单调函数的图象来考察一下： 单调性的判别法： 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的. 启示：能否利用导数的符号来判定单调性 ？ 进一步，若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的. 2 y x 0 . . . . . . . 观察函数y=x2－4x＋3的图象： 总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负 在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内 0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内 0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. （1）求函数的定义域： （2）求函数的导（函）数 函数 的定义域是 （3）令 以及 ，求自变量 的取值范围，即函数的单调区间。 令2x-40，解得x2,即 时， 是减函数. 令2x-40，解得x2,即 时， 是增函数； 例1:确定函数 ，在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 y x o 2 解： 例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性. 解:f (x)=3x2-12x+9 令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数. 令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数. 故f(x)在(-∞,1)和 (3,+∞)内是增函数, 在(1,3)内是减函数. 1 0 ?3 3 1 y x 根据导数确定函数的单调性一般需三步： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)0，得函数单调增区间; 解不等式f′(x)0，得函数单调减区间. 总 结： 例3:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间. 解: 若a0,