高等数学练习答案10-5.docVIP

习题10(5 1( 按对坐标的曲面积分的定义证明公式( ( 解 证明把(分成n块小曲面(Si((Si同时又表示第i块小曲面的面 积)( (Si在yOz面上的投影为((Si)yz( ((i ( (i ((i )是(Si上任意取定的一点( (是各小块曲面的直径的最大值( 则 ( 2( 当(为xOy面内的一个闭区域时( 曲面积分 与二重积分有什么关系？ 解 因为(( z(0( (x( y)(Dxy( 故 ( 当(取的是上侧时为正号( (取的是下侧时为负号( 3( 计算下列对坐标的曲面积分( (1)其中(是球面x2(y2(z2(R2的下半部分的下侧( 解 (的方程为( Dxy( x2(y2(R( 于是 ( (2)( 其中z是柱面x2(y2(1被平面z(0及 z(3所截得的第一卦限内的部分的前侧( 解 (在xOy面的投影为零( 故( (可表示为( (y( z)(Dyz({(y( z)|0(y(1( 0(z(3}( 故 (可表示为( (z( x)(Dzx({(z( x)|0(z(3( 0(x(1}( 故 ( 因此 ( 解法二 (前侧的法向量为n((2x( 2y( 0)( 单位法向量为 ( 由两种曲面积分之间的关系( ( 提示( 表示曲面的面积( (3)( 其中 f(x( y( z)为连续函数( (是平面x(y(z (1在第四卦限部分的上侧( 解 曲面(可表示为z(1(x(y ( (x( y)(Dxy({(x( y)|0(x(1( 0(y(x(1}( (上侧的法向量为n((1( (1( 1)( 单位法向量为 ( 由两类曲面积分之间的联系可得 ( (4)( 其中(是平面x(0( y(0( z(0( x(y(z(1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧( 解 (((1((2((3((4( 其中 (1( x(0( Dyz( 0(y(1( 0(z(1(y( (2( y(0( Dzx( 0(z1( 0(x(1(z( (3( z(0( Dxy( 0(x(1( 0(y(1(x( (4( z(1(x(y( Dxy( 0(x(1( 0(y(1(x( 于是 ( 由积分变元的轮换对称性可知 ( 因此 ( 解 (((1((2((3((4( 其中(1、(2、(3是位于坐标面上的三块( (4( z(1(x(y( Dxy( 0(x(1( 0(y(1(x( 显然在(1、(2、(3上的曲面积分均为零( 于是 ( 4( 把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分( (1)(为平面在第一卦限的部分的上侧( 解 令( (上侧的法向量为( ( 单位法向量为 ( 于是 ( (2)(是抛物面z(8((x2(y2)在xOy面上方的部分的上侧( 解 令F(x( y( z)(z(x2(y2(8( (上侧的法向量 n((Fx( Fy( Fz )((2x( 2y( 1)( 单位法向量为 ( 于是 (