同济大学微积分课件ch9_2.pptVIP

* 第二节 正项级数及审敛法 本节讨论数项级数中的一类重要级数——正项级数， 本节要点 一、比较判别法及极限形式 二、比值判别法 三、根值法 及收敛的各种判定方法 一、比较判别法及极限形式 若级数 中的每一项 则称级数为 正项级数. 设正项级数 的部分和为 则 即数列 是单调上升的. 由此得到: 基本定理 正项级数 收敛?部分和数列有界. 证 ? 设正项级数 收敛，且 设 因为数列 有极限，所以数列 必有界. ? 设正项级数 的部分和数列 有界，则由 知数列 单调增加有上界，故 必有极限， 所以级数 收敛. 比较审敛法1 设 与 是两个正项级数，且 则：⑴若级数 收敛，则级数 也收敛； ⑵若级数 发散，则级数 也发散. 证 ⑴设级数 收敛，其和为 ，级数 的部分和 为 则 即部分和数列有界，故极限存在，级数 收敛. 例如，对于级数 ⑵用反证法，假如级数 收敛， 则由⑴可知 也收敛，这是矛盾的， 故级数 必发散. 由于 并且 发散，故由比较判别法，以上三个级数均发散. 例 设级数 满足 ⑴级数 收敛；⑵ 证 由于 故 因为级数 收敛，则 收敛， 所以 收敛， 从而 也收敛. 证明 收敛. 例 讨论级数 的收敛性.（此级数称为p－级数） 解 当 时， , 因级数 发散，故 也发散. 当 时，设函数 ，由积分中值定理， 即，部分和数列有界，此时级数收敛. 所以， 级数 当 时收敛， 当 时发散. 但有时候找到这样的级数是比较困难的. 例如对级数 要构造一个收敛的正项与其比较比较麻烦， 正项级数比较审敛法的要点是找到一个收敛或发散的级数 与原级数进行比较. 但我们知道, 当 时， 这就自然提出比较判别法是否有相应的极限形式. 而由 级数的收敛性知级数 是收敛的. 比较审敛法2 设 与 是两个正项级数，且 ⑴若 则级数 与级数 同时收敛，同时发散； ⑵若 且级数 收敛，则级数 收敛； ⑶若 且级数 发散，则级数 发散. ⑵仿⑴同证. 证 ⑴因为 由极限定义，取 ，存在 ，当 时，有 因 收敛， 也收敛，从而 收敛. ⑶因为 则存在 ，当 时，有 因 发散，从而 也发散. 例 讨论下列级数的收敛性. ⑴ 解 因 发散，故原级数发散. ⑵ 因 收敛，故原级数收敛. 解 ⑶ 解 因 发散，故原级数发散. ⑷ 解 因 发散，故原级数发散. ⑸ 解 因 收敛，故原级数收敛. ⑹ 解 因 收敛，故原级数收敛. 二、比值判别法 是收敛的，但 所以，由比较判别法，我们无法得到级数的收敛性， 考虑级数 ，由等比级数的收敛性，知级数 为此我们引入下面的判别法. 比值判别法(达朗贝尔) 设 是正项级数，若极限 则当 时，级数收敛； 时，级数发散. 即有 证