函数值域经典例题.docVIP

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。 ①直接法：利用常见函数的值域来求； (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为 R；值域为 R . （2）反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； （3）二次函数的定义域为R， 当a0时，值域为； 当a0时，值域为。 ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法”）：爸原式化成的形式； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围； ⑥数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域； ⑧逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：； 基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域； 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域. 【例】求下列函数的值域： ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） 解：（1）（配方法）， ∴的值域为 改题：求函数，的值域 解：（利用函数的单调性）函数在上单调增， ∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为 ∴函数，的值域为 （2）（法一）分离变量法：， ∵，∴， ∴函数的值域为 （法二）反函数法：的反函数为，其定义域为， ∴原函数的值域为 （3）换元法（代数换元法）：设，则， ∴原函数可化为，∴， ∴原函数值域为 说明：总结型值域，变形：或 （4）数形结合法：， ∴， ∴函数值域为 （5）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为 由得： ① ①当即时，①即，∴ ②当即时，∵时方程恒有实根， ∴，∴且， ∴原函数的值域为 （6）求复合函数的值域： 设（），则原函数可化为 又∵， ∴，故， ∴的值域为 （7）三角换元法： ∵，∴设， 则， ∵，∴，∴， ∴， ∴原函数的值域为 （8）不等式法：， ∵，∴，∴， 当且仅当时，即时等号成立 ∴， ∴原函数的值域为 （9）（法一）方程法：原函数可化为：， ∴（其中）， ∴， ∴，∴，∴， ∴原函数的值域为 【练习1】： （1）求函数的值域.； （2）求函数的值域.； （3）求函数的值域.； （4）求函数的值域. [答案]（1）配方法：[-12,3]；（2）分离常量法：； （3）判别式法：；（4）换元法：。