解梯度向量以相关的一阶偏导数表成f.PPTVIP

8.5 方向導數和梯度向量 方向導數 假想我們站在圖 8.36 中所畫的山邊，想要決定山朝向 z 軸的傾斜度。如果山以方程式 z = f (x, y) 代表，我們學過如何計算沿著兩個不同方向上的斜率──沿 y 方向的斜率是偏導數 fy(x, y)，而沿 x 方向的斜率是偏導數 fx(x, y)。 為了決定曲面上一點的斜率，我們要定一個稱為方向導數（directional derivative）的新導函數。考慮曲面 z = f (x, y) 和 f 定義域中的一點 P(x0, y0)，如圖 8.37。方向導數一詞中的方向是指下列單位向量。 u = cosθi + sinθj p.404 p.404 圖 8.36 p.404 圖 8.37 其中θ是向量與 x 軸正向的夾角，若要求此一方向的斜率，以一個過 P 點而平行於向量 u 的鉛直平面與曲面相交得一曲線 C，如圖 8.38 所示。我們定義此曲面在點 (x0, y0, f (x0, y0))，沿 u 方向的斜率為曲線 C 在該點的斜率。 p.404 p.404 圖 8.38 p.405 f 是兩變數 x 和 y 的函數，u = cosθi + sinθj 是一個單位向 量。如果極限 存在，我們稱此極限為 f 沿 u 方向的方向導數（directional derivative of f in the direction of u），以 Du f 表示。 ? 方向導數的定義 如果 f 是 x 和 y 的可微函數，則沿方向 u = cosθi + sinθj 的方向導數是 Du f (x, y) = f x(x, y) cosθ + f y(x, y) sinθ 注意 在求方向導數時，代表方向的向量長度必須是 1，否 則就要先將此向量取長度為 1 之後，才能應用定理 8.9。 p.405 ?定理 8.9 方向導數 圖 8.39 p.405 求函數 在點 (1, 2)，沿方向 的方向導數。 解　由於 fx 和 fy 連續，因此 f 可微，應用定理 8.9 p.406 例 1 求方向導數 在 θ=π/3，x = 1 和 y = 2 取值得到 p.406 p.406 圖 8.40 假設 z = f (x, y) 是 x, y 的函數並且fx 和 fy 都存在，則向量 f (x, y) = f x(x, y)i + f y(x, y)j 稱為 f 的梯度（向量）（gradient of f ）以 f (x, y) 表示。 f 讀做「del f」，另一個常用的記號是 grad f (x, y)。在圖 8.41 中，注意到對每一個點 (x, y) 而言，梯度向量 f (x, y) 都是一 個平面向量（而非空間向量）。 p.406 ?兩變數函數的梯度向量的定義 Δ Δ Δ Δ p.406 圖 8.41 f 的梯度向量是 xy 平面上的向量。 求函數 f (x, y) = y ln x + xy2 在點 (1, 2) 梯度向量。 解　以 得到 在點 (1, 2)，梯度向量是 p.406 例 2 求函數的梯度向量 p.407 假設 f 是 x 和 y 的可微函數，則沿單位向量 u 方向的方向導數是 f (x, y) = f (x, y)．u ?定理 8.10 方向導數的內積形式 Δ p.407 例 3 利用 f (x, y) 求方向導數 求函數 f (x, y) = 3x2 – 2y2 在點　　　，沿著從　　　　到 Q(0, 1) 方向的方向導數。 解　由於 f 的偏導數連續，所以 f 可微，應用定理 8.10 從 P 到 Q 決定向量。 在此方向的單位向量是 Δ 因為 f (x, y) = fx(x, y)i + fy(x, y)j = 6xi – 4yj，在 的梯度 向量是 因此，在　　 的方向導數是 p.407 Δ p.407 圖 8.42 已知 f 在點 (x, y) 可微。 1. 若 f (x, y) = 0，則對所有方向 u 而言，其方向導數 Du f (x, y) = 0。 2. f 遞增最快的方向是 f (x, y) 的方向，所有方向導數的最大值是 || f (x, y)||。 3. f 遞減最快的方向是 – f (x, y) 的方向，所有方向導數的最小值是 – || f (x, y)||。 p.408 ?定理 8.11 梯度向量的性質 Δ Δ Δ Δ Δ p.408 圖 8.43 f 的梯度向量在 xy 平面上指向曲面 z = f (x, y