6-2二次型的标准化.pptVIP

* 第二节 二次型的标准化 一 用正交变换标准化二次型 对于二次型 其矩阵A是实对称矩阵, 故必存在正交矩阵P, 使得 为对角矩阵. 又P是正交矩阵, 有 也为对角矩阵. 故我们有正交矩阵P使得 定理: 任意二次型 都可以经过正交变换 化为标准形 其中 是矩阵A的特征值, 正交矩阵 中 是矩阵A的特征值 对应特征向量. (1)求矩阵A的特征值。A的特征多项式为 其中 (2)对特征值 解 得其基础解系为 由此的得到二次型标准化的正交变换法或主轴化法 (3) 用施密特方法将 正交规范化为 (4) 作矩阵 则矩阵P必正交矩阵且 能将二次型标准化 正交变换 例1 用正交变换把二次型 化为标准形 解: 二次型的矩阵 由 特征值为 得 当 解 得基础解系为 正交化得 当 解 得基础解系为 将 单位化得 作矩阵 则P是正交矩阵, 且正交变换 将二次型标准化为 可见,这个二次型的正惯性指数是3,负惯性指数是0, 符号差为3 例2 设二次型 经正交变换化为 求参数a,b及所用的正交 变换. 解: 二次型的矩阵为 由于采用的是正交变换 相似 故它们有相同的特征多项式即 得 解得 或 (求参数a,b法一) 故矩阵A与 (求参数a,b法二) 由于采用的是正交变换, 特征值为 故 且 即 解得 或 故矩阵A的 以下对 进行讨论, 这时 当 解 得基础解系为 正交单位化后为 当 解 得基础解系为 单位化后为 所用正交变换为 其中 二 用配方法化二次型为标准型 1 二次型中有平方项 例3 解: 令 即 作线性变换 其中 二次型化为标准形 例4 2 二次型中无平方项 令 即作线性变换 解 其中 二次型变为 令 即 即 作线性变换 其中 化为 作线性变换 其中 其中 化为标准形 即 作线性变换 化为标准形 即 *