33 惯性定理及定性分类.pptVIP

3.3 惯性定理及定性分类 一、用坐标变换法化简二次型 利用可逆变换化二次型为标准型，就是要寻找可逆阵P，使得 对(A,E)行变换 对A相应列变换 例1：用一个坐标变换把下列二次型化为标准型： 二、惯性定理及规范形 定理3.10（惯性定理） 一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与 负系数的个数分别相等。 定理表明：P,N与化标准形的方法无关。 正惯性指数：标准形中的正系数的个数；P 负惯性指数：标准形中的负系数的个数；N 符号差：s=P-N 定理： 任一二次型可经满秩线性变换化为如下的规范形： 证明： 注意：二次型的规范形是唯一的。 用正交替换法化为如下的标准形： 用初等变换法化为如下的标准形： 秩和正惯性指数分别相等。 两个n阶实对称矩阵合同 合同，其中+1和-1的个数共有 r(A)个。 任一实对称矩阵A与对角阵 注意： 例3：(1)已知二次型 系数矩阵为 A,其特征值为 写出它的一个标准形、规范形 及 。 解： （2）已知二次型 系数矩阵为 A, P=4 ， 写出它的规范形 解： 一个二次型 如果对于任意不全为零的实 数 都有 ，则称二次型为 正定二次型（或二次型正定），且称正定二次型的 系数矩阵为正定矩阵（或称对称正定矩阵）。 定义3.5 三、实二次型与实对称矩阵的定性分类 f是正定的 f不是正定的 f不是正定的 结论：标准形更易判定 f是正定的 f不是正定的 启示：讨论如下定理 定理： 满秩线性变换不改变二次型的正定性。 证明： 即经满秩线性变换得到的新二次型仍正定。 结论：二次型为正定当且仅当其标准形为正定。 进一步的结论： 正惯性指数 P=n 。 规范形为 标准形中的n个系数均为正 上述其它结论易证，请作练习。 证明： 经此变换 则该二次型仍正定 与正定性矛盾！ 相应的实对称矩阵的结论： 正定二次型与正定矩阵一一对应，因此，有： 为正定二次型。 二次型 1、实对称矩阵 A 正定 存在可逆矩阵 P, 使得 2、实对称矩阵 A 正定 4、实对称矩阵 A 正定 A 的特征值均大于零 存在可逆矩阵 D, 使得 3、实对称矩阵 A 正定 （即合同于单位矩阵） 设n阶实对称矩阵 ，将A的前k行和前k列元素 组成的子矩阵记为 则称行列式 为k阶顺序主子式。 定义 A 的各阶顺序主子式均大于零。 （SylvesterTh)实对称矩阵 A 正定 定理3.12: 例2：判定下列二次型的正定性： 解：二次型对应的矩阵为 计算各阶顺序主子式 是正定的。 正定矩阵的性质 4. 若B也为n阶正定矩阵，则A+B 也为正定矩阵; 若n阶矩阵A为正定矩阵，则 注意：此处不是合同关系！ 例3 设 A 为正定矩阵，证明： A 一定可逆，且 A 的逆矩阵 也为正定矩阵。 因此 A-1也是正定矩阵。 故 A 一定可逆。 且 证： 因为 A 为正定矩阵，所以 二次型的有定性 （1）负定二次型 ： 一个二次型 如果对于任意不全为零的实数 都有 ，则称二次型为负定二次型（或二次型负定），且称负定二次型的 对应矩阵为负定矩阵（或称对称负定矩阵）。 （2）半正定（半负定）二次型： 半正定（半负定）矩阵 （3）不定二次型： 不定矩阵 即A 的各阶顺序主子式负正相间。 实对称矩阵 A 负定 推论： 证明： 定理3.11 （１）f 负定 （2）f 半负定 （３）f 半正定 （４）f 不定 例３、判断下述二次型是否正定，并说明理由。 A的各阶顺序主子式全大于零,则f 是正定的。 解 (1) 因为 a33 = 0 ，知 f 一定不是正定。