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* 第4章 拉普拉斯变换分析 主要内容 4.1 拉普拉斯变换的定义 4.2 常用信号的拉普拉斯变换 Δ4.3 拉普拉斯变换的基本性质 4.4 拉普拉斯逆变换 Δ 4.5 微分方程的s域求解 Δ 4.6 s域的元件模型 拉氏变换的优点： 1）求解简化。 2）把微分、积分方程转化为代数方程。 3）将复杂函数转化为简单的初等函数。 4）将卷积转化为乘法运算。 ------ f(t)的拉氏变换 对于因果信号： 引入衰减因子 得 4.1 拉普拉斯变换的定义 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉氏变换 拉氏逆变换： F(s):单边拉氏变换(Single-sided Laplace Transform) 1、以后不特别强调讨论的都是指单边 2、双边拉氏变换(Double-sided Laplace Transform) 拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别： FT: 时域函数f(t) 频域函数 变量 t 变量 LT: 时域函数f(t) 复频域函数 （变量 t、 都是实数） 变量 t 变量s (复频率） t（实数） (复数） 即： 傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系； 拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。 ------ f(t)的单边拉氏变换 ----F(s)拉氏逆变换 4.1.2 拉氏变换的收敛域(ROC) ------ f(t)的双边拉氏变换 单边拉氏变换的收敛域: 则 的区域称为拉氏变换的收敛区（收敛域） 若： 收敛区 收敛轴 收敛坐标 0 S平面 4.2 常用信号的拉氏变换 拉氏变换 时间信号 拉氏变换 时间信号 4.3 拉氏变换的基本性质 尺度变换 s域平移 延时 时域积分 时域微分 线性 性质名称 4.3 拉氏变换的基本性质(二) s域卷积 s域积分 s域微分 终值 初值 时域卷积 性质名称 例4-1 求 的拉氏变换 4.3.1 线性特性 解： 同理 4.3.2 时域微分 例4-6 图示电路，在t=0时开关K闭合，求输出电压vc(t) 解： （1）列写微分方程 （2）将微分方程两边取拉氏变换，得: （3）求 的拉氏逆变换 4.3.4 延时特性 t0 t f(t) E 4.3.5 s域平移 例4-9 4.3.6 尺度变换 例4-10 解法一： 解法二： 先尺度： 再延迟： 4.3.9 初值定理与终值定理 例4-11 （1）已知 求 解： 例如： 所以，f(t)的终值不存在。 当且仅当F(s)在s平面的虚轴上（原点除外）及其右半平面都为解析时，终值定理才可应用。 即：当且仅当F(s)的全部极点在左半s平面，或在s=0处只有一阶极点时，终值定理才可应用。 初值定理适用条件：有理真分式 终值定理适用条件： 4.3.11 时域卷积定理 例4-28：已知 求 解： 4.4 拉普拉斯逆变换 4.4.1 部分分式展开法 　　式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数, pi为 极点 例4-12：求下列函数的逆变换 解：将F(s)展开成部分分式形式: 分别求K1,K2,K3 （１）极点为实数，无重根 (mn) 对于m n的情况 （２）包含共轭复数极点, 无重根 设： 其中： 则 其中： A, B 由待定系数法求出。 例：求下列函数的逆变换 解： 上两式的分子应相等，即 解之得： （３）有多重极点 例4-15：求下示函数的逆变换 解： 设 则 所以有 逆变换为 4.5 微分方程的变换 例4-21：已知 起始条件为： 求 y(t) 解： 对微分方程两边取拉氏变换：