w1.2.极限(四) 高等数学 专升本.pptVIP

1.2.7 二元函数的极限 的值随 的不同取不同的值. 不存在. 练习 教材P 作业 习题册P 1.2.7 二元函数的极限 * (四) 问题的提出 例1 理想气体的体积V与温度T成正比，而与压强P成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出 （其中R是比例常数） 这两个例子的实质是依赖于两个变量的函数关系. 例2 矩形面积S与长x，宽y有下列 依赖关系 1.2.7 二元函数的极限 1．二元函数的定义 定义1.10 设 是面 上的一个点集， 如果对于每个点 变量 按照一定法则 总有惟一 确定的值 与之对应， 则称 是变量 的二元 函数 (或点 的函数)， 或 并记为 点集 称为该函数的定义域, 称为自变量， 为因变量， 数集 称为 该函数的值域． 1.2.7 二元函数的极限 说明: 1.2.7 二元函数的极限 1、当自变量 分别取 时， 函数 的对应值 ，记作 时的函数值. 称为二元函数 当 2、定义域是自变量所能取的使算 式有意义的一切点集. 例3求下列函数的定义域 解 (1)、要使函数有意义，须且 即函数定义域为 x y 1 (1) D o 1.2.7 二元函数的极限 1.2.7 二元函数的极限 (2)、要使函数有意义，须且 x y o 即函数定义域为 (如下图) 例4 求函数值 设 ,求 解： 1.2.7 二元函数的极限 1.2.7 二元函数的极限 课堂 练习 求下列函数的定义域 1.2.7 二元函数的极限 提示： 故函数为无界的闭区域 (如图) x y 1 (1) D o 1.2.7 二元函数的极限 故函数为无界的开区域 (如图) x y o (2) D 1.2.7 二元函数的极限 (3)、 故函数为有界的闭区域 (如图) x y 1 (3) o D 2．二元函数的图形 设函数 的定义域为D， 对任意取定的 对应的函数值为 以 为横坐标, 为纵坐标, 为竖坐标在空间 确定一点 当 取遍D上的一切点时, 得一个空间点集 这个点集称为二元函数的图形. 1.2.7 二元函数的极限 1.2.7 二元函数的极限 如图 二元函数的图形通常是一张曲面. 设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图 D z = f (x, y) X X 如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限. M X0 A y z x o f (X) 1.2.7 二元函数的极限 定义 1.2.7 二元函数的极限 即： 设函数 在点 的某邻域内有定义 ( 可以除外)， 是该邻域内任意一点， 当点 以任意方式无限趋近于点 时， 对应的函数值 无限地趋近于一个确定的 常数A， 则称常数A是函数当 时 的极限.记作 或 1.2.7 二元函数的极限 说明: 1、定义中 的方式是任意的. 2、二元函数的极限也叫二重极限 3、二元函数的极限运算法则与一元 函数类似． 例5 求下面二元函数的极限 1.2.7 二元函数的极限 解 （利用重要 极限） 1.2.7 二元函数的极限 例6 极限 解 原式 1.2.7 二元函数的极限 练习 求下列二元函数的极限 提示 【说明】 1.2.7 二元函数的极限 1、 是指 P以任何方式趋于P0 . 如图 x x0 x x (1)、对于一元函数 x o X0 X D (2)、对二元函数 f (X), 如图 有 ? 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A. D z = f (x, y) X f (X) M X0 A y z x o 1.2.7 二元函数的极限 2、确定极限不存在的方法： (1)、 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限 (2)若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限 1.2.7 二元函数的极限 常用趋于方式： ( 沿平行 轴 ) ( 沿平行 轴 ) ( 沿直线 ) 1.2.7 二元函数的极限 例7 设 求 考察 P(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于 分析： (0