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第3章 空间问题和轴对称问题的有限元法 3.1 采用四面体单元解一般空间问题 3.2 轴对称问题的有限元法 3.1采用四面体单元解一般空间问题 许多工程实际问题属于空间问题。空间问题有限元法的原理、思路和解题方法完全类同于平面问题的有限元法，所不同的是它具有三维的特点。它所采用的离散化模型仍然是由若干小单元在结点处连结而成的，但是这些小单元具有块体形状（立体单元）。 空间离散化模型的常用单元有四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单等，其中最简单的单元是4节点四面体单元。这些四面体单元相互在顶点处以空间铰相互连接，成为空间铰接点，单元间通过节点相互作用，进行的力传递。如图所示。 基本未知量仍然是节点位移，但是有3个分量：u,v,w。它的基本方程比平面问题要多，有3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。它的分析方法仍然是先进行单元分析，再进行整体分析，最后求解整体平衡方程。 3.1.1 四面体单元的位移函数 四结点四面体常应变单元 如图所示，取四面体的四 顶点为节点。 在空间问题中，每一个节 点有3个位移分量，分别沿xyz方向，写成列阵为： 即单元节点位移向量为 3.1.1 单元的位移函数 3.1.1 单元的位移函数 与平面问题的三节点三角形单元一样，在单元内设定线性位移模式，即假定取单元内任意一点位移是其坐标为X,y,z 的线性函数： 考虑节点位移，确定待定常数，得位移函数 3.1.1单元的位移函数 由单元位移函数是线性函数，保证了单元之间变形的连续性。 由上组方程的第一式用于4个节点，则有： 3.1.1 单元的位移函数 由此解出待定常数a1，a2 ， a3 ， a4，代回第一式得： 同样方法得到其余两个位移分量的函数式： 3.1.1 单元的位移函数 3.1.1 单元的位移函数 3.1.1 单元的位移函数 V是四面体ijmp的体积。为了使四面体的体积为正值，单元结点编号i,j,m,p，必须依照一定的顺序。在右手坐标系中，当按照i,j,m的方向盘转动时，右手螺旋应向p方向前进。 3.1.1 单元的位移函数 单元位移函数的表达式可用矩阵表示为： 3.1.1 单元的位移函数 其中 3.1.2 单元的应变与应力 3.1.2单元的应变与应力 将前面的得到的位移方程代入： 其中B矩阵为应变矩阵 而子矩阵 3.1.2单元的应变与应力 可见，应变矩阵中各元素为常数，因此单元中的应变也是常量，故采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。 根据空间问题的物理方程（用应变表示应力的形式）: 3.1.2单元的应变与应力 3.1.3 刚度矩阵 单元刚度方程表示了单元节点力和节点位移的关系，即： 3.1.3 刚度矩阵 建立单元刚度方程的基本步骤是：在假定单元位移函数的基础上，根据弹性力学理论，来建立应变、应力、节点位移之间的关系式，然后根据虚位移原理，求得单元节点力与节点位移之间的关系，即单元刚度方程，从而求得了单元刚度矩阵。 3.1.3 刚度矩阵 应用虚功方程，按照平面问题的类似推道导，可得到空间问题的单元刚度矩阵 注意[B]及[D]中的元素都是常数，而且 所以上式简写为 3.1.3 刚度矩阵 刚度矩阵按节点写成分块阵得： 子矩阵 3.1.3 刚度矩阵 可见，单元刚度矩阵是个常数矩阵，因为它仅由单元节点坐标和单元材料常数决定。 如果弹性体划分为ne个单元和n个节点，经过与平面问题类似的集合处理，就可以得到整体刚度方程 式中F3n×1是节点载荷列阵，δ3n×1是节点位移列阵，而 是整体刚度矩阵，是3n×3n 的方阵。并且和平面问题一样，它是对称、带状、稀疏矩阵，在消除刚体位移后是正定的。 3.1.4 等效节点力计算 单元上所受的载荷利用虚功等效的原理也可以移置到4个节点上，所不同的是空间问题每个节点有3个节点力分量，所以单元的等效节点力列阵为： 这里介绍两种常见的载荷移置结果： 1、均质单元的自重 设均质单元的自重为W则等效节点力为： 相当于把单元的1/4自重分别移置到每个节点上，这里假设z轴垂直向上。 3.1.4 等效节点力计算 2、边界上受线性分布载荷 设单元e的某的边界面，例如ijm面，受有线性分布载荷，它在i、j、m3个节点处的集度分别为pi,pj和pm，则移置到3个节点处的节点力为 式中，Aijm是边界面ijm的面积；Fi的方向与原分布载荷的方向一致。至于单元受有集中情况，一般取其作用点为节点，则不再需要移置。有了各单元的节点的列置，通过扩大后叠加就可得到整个弹性体的载荷