数学分析1期末考试讲解.docVIP

《数学分析Ⅰ》题目讲解 单项选择题（每小题2分，共14分） 1、设数列满足且，则为【 】 A、0 B、1 C、 D、2 2、已知 则是的【 】 A、第一类不连续点 B、第二类不连续点 C、连续点 D、可去不连续点 3、已知，则在处【 】 A、左可导 B、右可导 C、可微 D、不连续 4、若存在，下列说法一定正确的是【 】 A、在的任一邻域内有界 B、在的某一邻域内无界 C、在的某一邻域内有界 D、在的任一邻域内无界 5、若在处连续，并且，则【 】 A、且存在 B、且存在 C、且存在 D、且存在 6、若在点处存在左、右导数，则在点处必然【 】 A、可导 B、不可导 C、连续 D、不连续 7、下列叙述错误的是【 】 A、若在点可导，则在点可微； B、若在点可导，则在点连续； C、若在点可导，则； D、设在点可导，则是极值点当仅当. 参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 二、填空题（每小题3分，共21分） 1、 2、曲线上平行于直线的切线的方程为 3、设，则 4、曲线的斜渐近线为 5、函数的极小值点 ______ _ 6、已知当时与等价，则 7、 参考答案： 1. ； 2. ； 3. 5； 4. ； 5. 4； 6. 1； 7. 三、计算题（每小题6分，共36分） 1、计算. 1、计算 解：设，由于 ， ， ，（4分） 由夹逼性，，即原极限为1。（6分） 2. 求极限 3. 已知任意次可微，求的二阶微分. 3. 已知任意次可微，求的. 解：令，则， （2分） 所以， （6分） 4. 求方程所确定的函数的导数. 4.求方程所确定的函数的导数. 5. 设，求. 解：对等式两端取对数，，（1分）再对上式两端分别求导， （4分） （5分） 所以， 6. 求由方程所确定的函数的微分. 解：在方程两端对求导，得 . （3分） 解此方程，得。 （4分） 所以，。 （6分） 四、综合题（3小题，共29分） 1. 叙述证明题（4小题，共14分） （1）叙述（有限）的定义；（3分） （2）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理；（3分） （3）叙述在区间内一致连续的定义；（3分） （4）证明在上一致连续。（5分） 解：（1）（有限）的定义：对任意给定的，存在正整数，当时，有。 （3分） （2）数列的柯西（Cauchy）收敛原理：数列收敛的充要条件是是一个基本数列。（3分） （3）在区间内一致连续的定义：若在区间内满足对任意的，存在，使得对内任意两点与，当时，总有，则称在区间内一致连续。 （3分） （4）证明：对任意，由于 故对任意的，取，则对内任意两点与，当时，总有，即在上一致连续。 （5分） 2. 证明：当时，.（7分） 证明：（1）证明. 根据Lagrange中值定理， （2分）由于，所以。 （3分） （2）证明. 令，则 ，（2分）当时，，严格单调递减，由，知，从而。 （4分） 3. 设在区间可导，且，，证明： （1）存在使得；（5分） （2）在内至少有两个零点。（3分） 证明：（1）由，存在，使当时，有，此时，。在中去一点，有；由，存在，使当时，有，此时，。在中去一点，有。（3分）于是，。由在可导，在连续，由中间值定理，存在，使得。（5分） （2）由罗尔（Rolle）定理，在内至少存在一点使得，在内至少存在一点使得。故在内至少有两个零点。（8分）