2017秋（北师大版）九年级数学上册第4章 阶段方法技巧训练（一） 专训1　巧用“基本图形”探索相似条件.docVIP

专训1　巧用“基本图形”探索相似条件 几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型． 2．相交线型． 3．子母型． 4．旋转型．  平行线型 1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D. (1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长． (第1题) 相交线型 2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由． (第2题) 子母型 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：＝. (第3题) 旋转型 4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC； (2)＝. (第4题) 1．(1)证明：∵ED∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴＝. ∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC. ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝BD.∴＝. 即AE·BC＝BD·AC. (2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高， h△BDE表示△BDE中DE边上的高， h△ABC表示△ABC中BC边上的高． ∵S△ADE＝3，S△BDE＝2， ∴＝＝＝. ∴＝. ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝. ∵DE＝6，∴BC＝10. 2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC. 3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°. 又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)， ∴△ABC∽△DBA. ∴＝，∠BAD＝∠C. ∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点， ∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C. ∴∠BDF＝∠BAD. 又∵∠F＝∠F， ∴△DBF∽△ADF. ∴＝.∴＝. 　(第3题) 点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC. 4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠BAC. 又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC，∴＝. ∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.