浙江省八年级数学下册专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明试题新版浙教版_28.docVIP

专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明 类型一 特殊平行四边形的阅读理解问题 1. 阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形. 结合阅读材料，完成下列问题： （1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ） A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 以上答案都不对 （2）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°. 若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出∠ABC的度数. 2． 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形． 如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形． （1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由； （2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值． 3. 如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： （1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形； （2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值. 类型二 特殊平行四边形的探究性问题 4. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于点E． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论. 5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目： 在此基础上，思考并解答以下新问题： （1）当∠BAC＝60°时，四边形ADEF是平行四边形吗？请说明理由； （2）当△ABC满足什么条件，四边形ADEF是菱形？请说明理由； （3）当△ABC满足什么条件，四边形ADEF是矩形？请说明理由； （4）当△ABC满足什么条件，四边形ADEF是正方形？请说明理由. 6. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG，观察猜想BE与DG之间的大小关系与位置关系，并证明你的猜想. 7． 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE； （2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由． 8. 如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H. （1）求证：四边形EGFH是矩形； （2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路. 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?荀MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件 ，MN ∥EF，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 、 . 故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH， ，即可得证. 参考答案 专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明 1. （1）C （2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD. ∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，∴分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°；若AD=AC，如图2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°；若AC=DC，如图3，则可求得∠ABC=150°. 2. （1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下： （2）裁剪线的示意图如下： 3. （1）证明：由题意可得：△ABD≌△A