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期末复习一 二次根式
复习目标
要求 知识与方法 了解 二次根式的概念、最简二次根式的概念 二次根式的运算法则 理解 二次根式根号内字母的取值范围 理解二次根式的性质 运用 利用二次根式性质化简计算 进行根号内不含字母的二次根式的四则运算 应用二次根式解决简单的实际问题 必备知识与防范点
一、必备知识:
1. 二次根式 0,其中被开方数a 0
2. 二次根式的性质:
()2= (a≥0);= = .
= (a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0).
3. 在根号内部不含 ,不含 ,这样的二次根式称为 .
4. 二次根式的乘除运算法则:×= (a≥0,b≥0);= . (a 0,b 0).
二、防范点:
1. 求根式取值范围要注意能否取等号;
2. 化简=时注意a的正负;
3. 坡比强调铅垂距离与水平距离之比.
例题精析
考点一 二次根式字母的取值
例1 (1)求出下列x的取值范围:
①;②;③.
(2)能使=成立的取值范围是( )
A.a3 B.a≥0 C.0≤a3 D.a3或a3
(3)已知x,y为实数,且y=++,则的值为 .
反思:二次根式的被开方数必须是非负的,同时还应考虑分式中分母不能为零.
考点二 二次根式双重非负性
例2 (1)已知+ =0,求x,y的值;
(2)若x,y满足+3=+,求2x+y的值.
反思:二次根式≥0(a≥0),两非负数相加得0,则每一项均为0.
考点三 二次根式运算
例3 计算:
(1)-+;
(2)--(2)2;
(3)(3-)(+2);
(4)(7+)2-(7-)2.
反思:二次根式化简=时注意a的正负;计算时注意能否用乘法公式.
考点四 二次根式的应用(坡比,与几何图形的结合)
例4 如图,大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4∶3,背水坡BC坡比为1∶2,大坝高DE=20m,坝顶宽CD=10m,求大坝的截面面积和周长.
反思:坡比强调铅垂距离与水平距离之比,往往需构造直角三角形.
考点五 二次根式的拓展探究
例5 小明在解方程-=2时采用了下面的方法:
(-)(+)
=24-x-(8-x)=16,
又∵-=2①,∴+=8②.
由①②相加得=5,=3,解得x=-1.
经检验x=-1是原方程的解.
请你学习小明的方法,解下列方程:
(1)+=16;
(2)+=4x.
反思:例题的演示中,抓住核心:运用平方差公式,消未知数x,列方程组求解.
校内练习
1.(自贡中考)下列根式中,不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 若=a,=b,则=( )
A. ab B. C. 10ab D. ab
3. 比较大小:3 2;- -.
4. 计算化简:(1);
(2);
(3)(黄冈中考)-6;
(4).
5. 如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角∠CAB=45°. 为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=∶3. 若新坡角下(AD的延长线上)需留3米宽的人行道,问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据:≈1.414,≈1.732)
6. 已知a,b,c分别为△ABC的三边长,且a,b满足b2=4b--4,求c的取值范围.
7. 小明用下面的方法求出方程2-3=0的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 2-3=0 令=t,则2t-3=0 t= t=>0 =,所以x= x+2-3=0 x+-4=0 8. 如图,A,B为两个村庄,AB,BC,CD为公路,BD为田地,AD为河流,且CD与AD互相垂直. 现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆,共有如下方案:
方案一:E→D→A→B;
方案二:E→C→B→A.
经测量得:AB=4km,BC=10km,CE=6km,∠BDC=45°,∠ABD=15°. 已知地下电缆的修建费为2万元/km,水下电缆的修建费为4万元/km.
(1)求出河
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