单人彩球游戏.PDFVIP

數學傳播 41卷 3期, pp. 39-50 單人彩球遊戲 徐祥峻 · 郭君逸 一、 介紹 單人彩球遊戲的玩法如下: 先將黑、 白、 灰三種顏色的彩球共 n 顆排成第一列, 稱為此遊 戲的 「題 目」。 接下來對每一列重複以下的操作:在第 k 列的下方擺放第 k+1 列, 使得第 k+1 列的每顆球均位於第 k 列的相鄰兩顆球之間的正下方 (因此第 k +1 列會比第 k 列少一顆球), 而且第 k +1 列每顆彩球顏色的擺放規則為 若上方相鄰兩球 同色, 則下方就擺放相 同顏色的球 ; 若上方相鄰兩球異色, 則下方就擺放 第三種顏色的球。 依此規則擺放彩球直到第 n 列為止, 此時第 n 列只剩一顆球, 我們將這顆球的顏色稱為此題的 「解」。 例如: 兩異色球下方放 兩同色球下方放 第三種顏色的球 相 同顏色的球 若第一列放的五顆球如下: 則第二列按照規則為 一直放到第五列 此時發現, 最後一顆球是 「灰色」, 我們就稱此題的解為 「灰色」。 39 40 數學傳播 41卷 3期 民 106年 9 月 游森棚教授 [1] 在 2015 年科學 月刊中有提到此遊戲, 而九九文教基金會在 2017 年舉辦 的茱莉亞羅賓遜數學園遊會 (Julia Robinson Mathematics Festival, JRMF) 中 [2, 3]也有 出現此遊戲, 讓學生透過實際動手操作的方式來找出此遊戲解的規律。 後來也有科展作品 [4, 5] 討論此遊戲解的規律, 不過都是在某些特定的情況下才能有較容易的方式來找出此遊戲解, 或 者是經由較複雜的遞迴型式來求解, 但求解所花的時間不如直接擺放彩球來的快。 本文將提供 一種方式可以較快地計算出一般的遊戲解, 進而得到一些特別的性質與推廣。 二、 建立數學模型 若想要直接求出此遊戲的一般解, 而不想要一顆一顆地慢慢擺放彩球來求解的話, 首要步 驟, 就是要將彩球顏色的擺放規則 (第一節第一段中的標楷體文字敘述) 做數學建模。 若能有較 簡單的數學建模, 則就能有較容易的方式得到此遊戲的一般解。 為了能夠 「計算」 顏色, 我們將彩球的顏色以數字標號取代: 黑球的標號為 0, 白球的標號 為 1, 灰球的標號為 2。 接下來我們便把彩球的顏色都直接以其標號取代。 我們先來看看彩球顏 色的擺放規則以標號表示時有什麼特性。 設某一列相鄰兩彩球的標號依序為 x 和 y, 而它們下 方彩球的標號為 z。 由彩球顏色的擺放規則可知 x,y,z 三數可能情形有: 全為 0; 全為 1; 全為 2; 或 0, 1, 2 各出現一次。 因此有 x + y + z = 0 或 3 或 6, 故 x + y + z 必為 3 的倍數。 由 此特性, 我們便將彩球的標號 0, 1, 2 視為 Z 中的元素, 並利用 mod 3 的運算來簡化 x, y, 3 z 的關係式可得 x + y + z ≡ 0 (mod 3)。 所以 z ≡ −(x + y) (mod 3), 也就是下方彩球的 標號為上方相鄰兩彩球標號相加後變號再 mod 3。 接下來文中的計算均為在 Z 中的運算, 即 3 mod 3。 例如: 兩白球下方的彩球標號為 「−(1+1) ≡ 1 (mod 3)」, 即白色; 黑灰兩球下方的 彩球標號為 「−(0+2) ≡ 1 (mod 3)」, 即白色。 總和為 3 總和為 3 總和為 6 總和為 3 將彩球顏色的擺放規則, 巧妙地轉換成數學運算後, 接下來就可以假設變數, 並推導出其 通解了。 以第一列擺放五顆球為例, 假設其標號依序為 「a, b, c, d, e」, 則第二列應為 「−(a + b),−(b +c),−(c +d),−(d