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北京理工大学工科数学分析7-3一阶线性微分方程.ppt
§3 一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程的解 一阶非齐次线性微分方程的解 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; 定义： 称为一阶线性微分方程的自由项或右端项， 例如 线性方程; 非线性方程. 分离变量 两边积分得 故通解为 一. 一阶线性齐次微分方程的解 二. 一阶线性非齐次微分方程的解 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 实质: 未知函数的变量代换. 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 用常数变易法: 则 作变换 故原方程的通解 即 两端积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 解： 先将积分方程化为微分方程： 两边求导得： 解： 先将方程化为标准形式： 通解为： 证明： 解： 对应齐次方程的通解为： 一阶线性微分方程的通解为： 于是所求特解为： Dec. 23 Mon. Review 一阶线性齐次微分方程的解 一阶线性非齐次微分方程的解 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 Bernoulli方程 解： (1) 由通解公式为得： 代入初值 (2) 解： 解： 例8. Bernoulli方程 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 解： 所以有： 化为一阶非齐次线性微分方程. 解： 例 9. 解: 解: Hw:p367 6(4,5,6,8),7(3,4),8(1,3,5),9(3,4,5).
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