北京理工大学工科数学分析7-4可解出导数的一阶隐式方程.pptVIP

§4 可解出导数的一阶隐式方程 由隐式方程给出的一阶微分方程： 从方程中解出导数的方程： 解： 原方程可化为： 解此二方程得： 解： 原方程可化为： 得： 解： 原方程可化为： 得： Dec. 14 Wed. Review 一阶线性齐次微分方程的解 一阶线性非齐次微分方程的解 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 Bernoulli方程 可解出导数的一阶隐式方程 可降阶的微分方程 从方程中解出导数的方程： 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . §5 可降阶的二阶微分方程 型方程 型方程 型方程 一、 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 例1. 解: 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 二、 不显含 y 解题步骤： Step 1. 做变量变换 Step 2. 求解一阶微分方程 Step 3. 求解 得出 解: 例3. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 解： 三、 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 解题步骤： Step 1. 做变量变换 Step 2. 求解一阶微分方程 Step 3. 解出 再求出 例4. 求解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 例5. 解初值问题 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 例6. 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以 解: 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 积记为 ( 99 考研 ) 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 两类特殊二阶微分方程 1. 令 则 两边积分 2. 令 则 两边积分可求出解。 内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 hw：p371 1(2,3,6,9),2(2,4,6),3.