北京理工大学工科数学分析7-9常微方程应用举例.pptVIP

Step 2 求解初值问题 当含盐百分比为3%时，100L溶液中含3kg盐，代入Q(t)，得: 即超过1小时零2分，含盐量百分比为3%。 四. 二阶微分方程的实例 hw：p432 1,3,5,6,13,16,19,21,28. 解： 取坐标系如图所示，平衡位置取为原点,运动开始后，B离开平衡位置的距离x是时间t的函数： B所受的外力有两部分组成： 由Newton第二定律知： 特征方程： 其中： 建立微分方程解决应用问题，应注意： 1.建立微分方程的基本条件： 1). 要熟悉能用导数表示的各种常见的变化率，如 2). 要熟悉与问题有关的各种定律、原理、原则，如 力学中运动所遵循的牛顿第二定律、牛顿万有引力定律； 牛顿冷却定律、傅立叶热传导定律； 弹性变形问题中的胡克定律； 流体力学中的阿基米德原理； 电学中的基尔霍夫定律，化学中的质量作用定律等； 变化问题中常常遵循的原则： 净变化率(改变率)=输入率-输出率 2.建立微分方程及求解的注意点： 1)若问题要求“运动规律”，“变化规律”，“对应规则”等，则需用微分方程解决问题.可考虑是否遵循什么定律或原理，或考虑用微元法导出微分方程； 2）问题给出在某特定时刻或特定位置的信息时，据此写出定解条件或确定解中的有关常数，如积分常数，比例系数等； 3)微分方程的有关各项应采用同样的单位； 4)得出解之后，检查结果是否与实际问题相符？ 不完全符合实际的可能性的原因： (1) 解微分方程过程中的增解； (2) 建立方程时略去的与问题相关的“次要因素”，因此得到的是近似解，从而与实际情况有差距. 3. 用微分方程解应用问题的一般步骤： 1)分析问题，建立微分方程：写出定解条件；注意单位统一； 2) 求出微分方程的解(通解)，或根据定解条件，确定积分常数(包括比例系数)； 3) 检查解的合理性，回答问题，必要时修改模型，对问题作进一步的探讨. ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . §10 应用举例 未知函数的变化率遵循明确的规律 利用导数的几何意义列方程 利用微元法列方程 二阶微分方程的实例 用微分方程解决实际问题的一般步骤： 根据题意，建立起反映问题的微分方程及相应的初始条件； 求出微分方程的通解或满足初始条件的特解； 根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解释问题的实际意义，或求得其它所需的结果。 一.未知函数的变化率遵循明确的规律 解： 由Newton冷却定律知： 解： 由题设条件 衰变规律 例3. 人口预测问题。 1. Macthus人口模型； 2. 阻滞增长模型（Logistic模型）。 1) Macthus人口模型(1798年) 年增长率r不变。 基本假设：人口增长率为常数，即人口作为时间的函数，其变化率与当时的人口数成正比，比例系数称为人口增长率，其数学模型为： 实际应用时，把时间离散化，以年为单位， 这模型对有的国家或地区吻合较好，有的却不行， 其原因是自然资源，环境条件等因素对人口增长 起着重大的阻滞作用，为此，对上述模型做合理的 修正。 人口以指数形式增长。 2) 阻滞增长模型(Logistic模型) 设人口增长率是人口的函数，设它为线性函数： 解此微分方程得: 二. 利用导数的几何意义列方程 解： 两点间的距离公式为： 两边平方，化简，得： 解： 对上式求导，并整理，得： 在上式两端左变上限积分 例3. 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 得微分方程 由夹角正切公式得 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 三. 利用微元法列方程 解： 根据力学定律，液体从距离自由面深度为h的小孔流出时，其流速为： 例2. 某容器内有100L盐水，其中含盐10kg，现以2L/min的速度注入井水，并以同样的速度使混合后的盐水流出，容器内有搅拌器。可以认为混合后的盐水在同一时刻，在每一点都有相同的浓度。试求容器内的含盐量，又几分钟后，溶液中含盐的百分比为3%？ 解： Step 1 列方程 用微元法 得到微分方程：