教育教学论文 《不等式选讲》内容的设置及其教学解读.docVIP

《不等式选讲》内容的设置及其教学解读 内容摘要：《普通高中数学课程标准》（实验）（以下简称标准）实施后，将《不等式选讲》部分作为选修课程系列4的专题5，供学生根据实际情况选学，其实不等式内容在初中已有涉及，高中是对初中内容的一个补充与提升，高中的内容更为详细具体，特别是在不等式类别一节中，详细介绍了各种式样的不等式，如果有兴趣的同学将其学精的话，并能熟练解答的话，则能够应用之快速解决好多问题，同时也能增加部分同学的学习兴趣。而该部分内容与必修课程中的不等式部分有很大联系，对这部分内容的解读和研究有利于指导学生更好的掌握高中不等式的内容。 关 键 词：高中数学课程标准 选修课程 不等式 数学教学 一、《标准》中《不等式选讲》课程的内容与要求 1. 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。 2. 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）； （2）； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 3. 认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义。 （1）证明：柯西不等式向量形式：； （2）证明：； （3）证明： ； （通常称作平面三角不等式） 4. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： . 5. 用向量递归方法讨论排序不等式。 6. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。 7. 会用数学归纳法证明贝努利不等式： . 了解当为大于1的实数时贝努利不等式也成立。 8. 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 10. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容： （1）知识的总结，对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结； （2）拓展，通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨不等式的应用； （3）对不等式学习的感受、体会。 二、 人教A版中《不等式选讲》的内容安排 本专题内容分成四讲，结构如下图所示： 1、不等式和绝对值不等式 该讲是本专题的基本内容，也是其余三讲的基础。该部分先讨论不等式的6个基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则。接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”（后面的第三章会做重点介绍），并把基本不等式推广到三个正数的算术、几何平均不等式。对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明。在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如最基本的等周问题，简单的极值问题等。接下来讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法。绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义。 笔者在此通过下面两例来研究一下均值不等式和绝对值三角不等式： 例1、平均值不等式的变形式 对任意的正数，由平均值不等式，得 从而 令 ，则称为个正实数的调和平均值。 由于 令 ，则： 即 ，调和平均值不大于几何平均值。 对任意实数，有. 故得到 称为个实数的平方平均值。 所以，对于任意实数，，即算数平均值不大于平方平均值。 于是，对于任意正实数，得到四个平均值有如下关系 ， 等式成立的充分必要条件是. 此不等式系列是为均值不等式的推广，在证明某些不等关系时可把它们作为放缩工具。 例2、巧用绝对值不等式求最值 已知数列的通项公式，对于正整数，当时，求证： . 解答：利用三角不等式的推广式：，问题便可解决。 于是结论得证。 2、证明不等式的基本方法 对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。所以，下面重点研究反证法和放缩法。 反证法 反证法是一种通过否定结论得出矛盾来间接证明结论的正确性的方法，又叫归谬法。它的证明具有程序化特点，可概括为：否定（否定结论）——推理（推出矛盾）——否定（否定假设）——肯定（肯定结论）四个部分。 值得注意的是，使用反证法证明问题时,准确地作出反设 (即否定结论)是正确运用反证法的前提,常见的“结论词”与“反设词”列表如下： 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有n-1个 至多有n个 至少有n+1个 对所有x成立 存在某个x不成立 对任意x不成立 存在某个x成立 或 且