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1999年7月 Lec10 曲线与曲面 李晓宁 主要内容 概述 曲线与曲面的数学基础 三次样条曲线 Bezier曲线和曲面 B样条曲线和曲面 教学要求 本章是全书的难点,非本科教学重点 掌握计算机图形学中有关曲线曲面造型的基本理论和方法,特别是曲线曲面描述的基础、Bezier曲线曲面,对 B样条曲线也有所了解 本章重点为Bezier曲线的生成 提出问题 应用场景 形体表示 实验数据的处理 统计数据的可视化 一般性问题:由离散点来近似地决定曲线和曲面,即通过测量或实验得到一系列有序点列,根据这些点列需构造出一条光滑曲线或曲面,以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等 实验数据的处理 统计数据的可视化 形体表示:几何建模 主要用途：描述工业产品的几何形状 初等解析曲面 复杂方式自由变化的曲线曲面 产品形状的传统设计方法：模线样板法 相关学科：计算机辅助几何设计CAGD（Computer Aided Geometric Design） 曲线板用于造型 曲线和曲面理论发展史 1959年,雪铁龙,de Casteljau,逼近方法设计曲面, 1962,雷诺,Bézier, 曲线曲面设计系统UNISURF 1963,波音公司,Ferguson,参数三次方程 1964年,Coons,布尔和形式的曲面； 1972年,deBoor和Cox,B样条的标准算法； 1975年以后,Riesenfeld,非均匀B样条曲线曲面 美国锡拉丘兹大学的 Versprille,有理B样条曲线曲面 80年末90年代初,Piegl和Tiller,非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS)； 1991年ISO正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP 常用的曲线曲面 Hermite 曲线曲面 Bezier 曲线曲面 B 样条曲线曲面 非均匀有理B 样条曲线曲面(NURBS) 曲线与曲面的数学基础 曲线与曲面的表示形式 非参数形式 显示 隐式 参数形式 基础知识：曲线曲面的表示 表示形式： 显式表示：y = f ( x ) , z = f ( x, y ) 如 y = mx + b 表示直线(一个x对应一个y),一般情况下,显示表示很难表示封闭、多值曲线 隐式表示:：f ( x , y ) = 0 , f ( x , y , z) = 0 如ax2 + 2bxy +cy2 +2dx +2ey +f = 0 圆锥曲线 (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1 椭球面 参数式表示:将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形式 x = x ( t ) , y = y ( t ) x = x ( u , v ), y = y ( u , v) , z = z ( u , v ) 例如： 圆 椭球面 矢量表示形式 曲线 曲面 表示方式的比较 非参数方程的表示有以下缺点 与坐标轴相关 会出现斜率为无穷大的情况 非平面曲线曲面难以用常系数非参数化函数表示 不便于计算和编程 参数方程的优点 有更大的自由度来控制曲线曲面的形状 与坐标轴无关 便于处理斜率无穷大的问题,不会因此而中断计算 用参数表示曲线时,因为参数变量是规范化的,t 的变化限制在[0 , 1] 范围内,所以曲线总是有界的 样条、插值、拟合、逼近 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条(spline) 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线,在每段的边界处满足特定的连续条件 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述 样条曲线的数学力学背景 样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线y(x)。 插值 给定一组有序的数据点Pi, i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值,所构造的曲线称为插值曲线 线性插值:假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值,用一个线形函数:y=ax+b,近似代替,称y为f(x)的线性插值函数 抛物线插值:已知在三个互异点 的函数值为 ,要求构造一个函数 使抛物线 在结点 处与 在 处的值相等 拟合 拟合:构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点),所构造的曲线为拟合曲线 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在