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5.3矩阵论
5.3 矩阵函数
一. 矩阵函数的定义与性质
定义5.7 设一元函数(f )z 能够展开为z 的幂
级数 ∞ k
f z c z z (r ) ∑( k )
k 0
其中r 0 表示该幂级数的收敛半径. 当n 阶
(ρ)A r
矩阵A 的谱半径 时，将收敛的矩阵幂级数
∞
的和 c A k 称为矩阵函数. 记为(f )A
∑ k
k 0
∞
即f A c (A ) ∑ k k
k 0
例如，函数
2 3
z z z
z
e
+ + + +1
1! 2! 3!
2 4
z z
z
cos− 1+ −
2! 4!
对 n n× ，则有矩阵函数
∀A ∈C
2 3
A A A A
+ + + +
e I
1! 2! 3!
A 2 A 4
− cos+ −
A I
2! 4!
A 3 A 5
− sin+ −
A A
3! 5!
并且由此可推得： coseiA sin A +i A
1 1
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