极限的概念以及与性质.pptVIP

5. 函数极限与数列极限的关系 定理4. 有定义, 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 例6. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 由定理 4 知 不存在 . 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、函数的极限 三 、函数的极限的性质 一、数列的极限 第二节 极限的概念与性质 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。 引言 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416 割圆术 割圆术就是极限思想在几何上的应用 微积分是一门以变量为研究对象、 应用极限方法研究各类变化率问题 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到 以极限方法 作为研究工具的数学学科： 曲线的切线问题， 微小量无穷积累的问题， 和几何学中 就产生了微分学； 就产生了积分学。 一、数列极限的定义 按照一定规律排列的一列数 数列 可视为定义在自然数集上的函数： 称为一个数列。 称为数列通项， 数列简记为 。 趋向于某个确定的数 x y O . . . . . . . . . . . 不趋向于某个确定的数 定义： 设数列 极限存在的数列称为收敛数列。 极限不存在的数列称为发散数列。 如果通项 记作 当项数 无限增大时， 则称 的极限。 为数列 或 无限趋近于某个常数 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证明: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 1. N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 2. 利用不等式的放缩. 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为0 . 例4. 证明： 记 易知 当 时， 取 则当 时，有 由于 故 时， 当 正整数 于是 正整数 所以 刘徽(约225 – 295年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 : 柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 第一章 1、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 2、左极限、右极限 主要内容 : 二、函数的极限 3、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 . 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 1、自变量趋于有限值时函数的极限 设函数 ( ) 例1. 证明 证: 故 取 当 时, 必有 因此 (注意x =1无定义) 例2. 证明: 当 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 2. 左极限与右极限 (单侧极限) 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 1. 例3. 给定函数 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 1 . 因为 显然 所以 不存在 . 例4. 求 解: 因为 所以 设 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 . A 为函数 3、自变量趋于无穷大时函数的极限 例5. 证明 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 只要 直线 y = A 仍