几何论证判读历程之个案研究-台东大学教育学报.PDF

台東大學教育學報，民 94 ，16(2) ，43~92 頁 NTTU EDUCATIONAL RESEARCH JOURNAL, 2005, 16(2), 43∼92 幾何論證判讀歷程之個案研究 ∗ ∗∗ 葉明達 柳 賢 摘 要 「論證文本」經數學社群「判讀」後方稱為「數學證明」，判讀不只經由閱讀而 理解文本，亦需判斷局部論點與整體論證的有效性。本研究目的在比較碩士生與高中 生之幾何論證判讀歷程，並分析個案的判讀策略。研究對象為四位數學低成就高二學 生、四位數學碩士班研究生，以放聲思考法輔以晤談，對判讀原案進行分析，主要發 現如下：專家、生手在判讀歷程上的差異在於專家能覺察附圖的侷限性，具有充分的 知識背景，能去除無關訊息的干擾；生手則依據「視覺直觀」或「順勢判斷」，來推 測文本的證明有效性，而且生手的檢驗多流於表面；專家、生手的判讀策略主要不同 點在於專家採用「推理導向」的判讀策略，生手傾向於「訴諸直覺」。 關鍵詞：數學證明、幾何論證、判讀 ∗ 高雄市立新莊高中數學教師 ∗∗ 高雄師範大學數學系教授 ～ 43 ～ 台東大學教育學報16卷 2期 幾何論證判讀歷程之個案研究 葉明達 柳 賢 壹、緒 論 一、研究背景與動機 證明與邏輯論證(logical argumentation)是數學作為一門科學的主因， 數學甚至被視為 「證明的科學」(Reiss, Hellmich, Reiss, 2002) 。Schoenfeld (1994)認為證明不能如同數學課程的安排方式從數學中抽離，證明是做、 溝通、和記錄數學的一項根本成分，數學證明在數學的重要性可見一斑。 美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000)所頒布《學校數學的原則和標準》(Principles and Standards for School Mathematics) 中，呼籲將學習推理與構建證明當成理解數學的一部份，建 議從幼稚園到十二年級的課程，應該讓所有學生能夠：1.認識推理與證明 為數學中必須且重要的部分；2.提出猜測並考察數學猜測；3.發展並評價 數學論證與證明；4. 選擇和使用各種適當的推理形式和證明方法。與舊版 本相比，證明從口號提升成一項實際標準，在學校數學課程中扮演更突出 的角色，並期望是學生共通的數學經驗(Knuth, 2002) ，數學論證的理解與 評價已成為數學教育的新訴求。 Selden 與 Selden （2003 ）指出 1990 年代初期，閱讀理論已將「閱讀」 與「寫作」視為一體。類似地，對證明構建者來說，構建證明最終是將思 維轉化為文字，來確認自己的想法。實際上，證明構建的最後一部分可能 就是該論證的判讀1 。另一方面，數學證明的構建者不能預知判讀者的知識 1 構建數學證明的目的在建立待證命題的有效性，因此構建行為本身隱含有確認命題有效 性的意義；構建數學證明也是一種數學解題行為，Polya(1945) 與 Schoenfeld(1985) 的最 後解題階段分別為回顧與驗證答案，便是強調對於答案的檢驗與評估。 ～ 44 ～ 幾何論證判讀歷程之個案研究 2 背景是否充分 ，判讀者極可能需要構建子證明來確認論證文本的有效性。 因此，在「證明的構建」與「論證的判讀」的兩種歷程中，兩者互為必須。 Tierney 與 Shanahan(1991)認為成功的寫作者不只與讀者產生文意的交流， 本身亦是最佳的讀者( 引自 McCutchen, 1996) 。顯見，構建數學證明與