华中科技大学数理方程教程——四单元格林函数法课件.pptVIP

4.3.3 四分之一空间的格林函数 4.4 试探法及Poisson方程的求解 4.4.1 试探法 对某些定解问题,根据问题的物理意义和几何特征，可假设解具有某种特殊形式，将这种形式的解代入方程进行试探直至求出特解。这种方法称为试探法。 例1. 设有一半径为R的无限均匀圆柱体,已知圆柱内无热源,圆柱 面上的温度分布为 ,试求圆柱内温度的稳定分布. 解：因柱面上温度与z无关,则域内温度也应与z无关,故原问题 可简化为求解圆域上Laplace方程的第一边值问题,采用极坐标, 我们考虑问题: 由(4.4.2),设 (4.4.1)得 ,代入 , 再由(4.4.2)得 由 的任意性得: 例2 求圆柱域 内的电位u,使在柱面上有给定的电场强度 的法向分量,即 解: 由边界条件知，问题可化为平面问题： 由边界条件(4.4.4),设 , 显然 满足方程(4.4.3)及条件(4.4.4)，于是问题的解为： 例3 求由两同心球面导体 和 构成的电容器内 的电位，使内球面 保持常电位 外球面接地。 解: 采用球坐标，考虑定解问题 由边界条件知，球内电位的分布仅与r有关，即电位 函数是球对称的，而电位与r成反比，故可设 显然 满足(4.4.5), 这是因为, 是三维Laplace方程 的基本解。由(4.4.6) 于是(4.4.5) (4.4.6)的解为： 如果知道Poisson方程的一个特解，则通过函数代换， 4.4.2 Poisson方程的求解 就可将Poisson方程边值问题化成Laplace方程的边值问题。 例1 求 的特解。 解: 设其特解为 ,则 于是，其解有无穷多个，如 等等。 例2 求下列问题的解 解: 显然方程有一个特解 , 故令 , 则 由极值原理，上述问题的解为 ,故原问题的解为： 4.4.3 Dirichlet外问题与Neumann外问题简介 Dirichlet内问题 Dirichlet外问题 Neumann内问题 Neumann外问题 由于外问题在无穷区域上提出，需附加条件： 其中， 。从数学角度来讲，此条件 可以保证外问题的解是唯一的。 第四章 格林函数法 分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而 傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题， 这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和 无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有 限的积分形式，十分便于理论分析和研究。 格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微 分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯 方程的边值问题。 4.1 格林公式及其应用 4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： (4.1.1) 求方程(4.1.1)的球对称解 (即与 和 无关的解) ,则有： 其通解为： 为任意常数)。 若取 ,则得到特解 ,称此解为三维Laplace 方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 ,其极坐标形式为: (4.1.2) 求方程(4.1.2)的径向对称解 (即与 无关的解) ,则有： 其通解为： 为任意常数)。 若取 , 则得到特解 , 称此解为二维 Laplace方程的基本解. 4.1.2 格林公式 由高斯公式 ,则得到格林第一公式： 令 将以上两公式相减，得到格林第二公式： 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。 4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数： 除在 点外处处满足三维Laplace方程 ，于是有 定理：若函数 在 上有一阶连续偏导数，且在 内调和，则 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。 若函数 在 上有一阶连续偏导数，且在 内满足Poisson方程 ，则同样有 4.1.4 调和函数的性质 性质1. 设 是区域 内的调和函数，它在 上有一阶连续偏导数，则 其中 的外法线方向。 是 证明 只要在Green公式中取 即证。 注：此性质表明调和函数