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IMO预选题1978
IMO LongList 1978 IMO ShortList/LongList Project Group June 19, 2004 1. (Bulgaria 1) The set M = 1, 2, . . . , 2n is represented as a disjoint reunion of k sets M , . . . , M , 1 k where n ≥ k3 + k. Prove that there exist i,j ∈ 1, . . . , k, not including the situation when i = j, and k + 1 even numbers, distinct two by two, 2r1 , . . . , 2rk+1 ∈ Mi so that 2r1 − 1, . . . , 2rk+1 − 1 ∈ Mji . n 2 2n 2n 2 k k n + 1 5n + 5n + 2 2. (Bulgaria 2) If k · x = ak · x , prove that ak = . 2 2 k=1 k=2 k=n+1 3. (Bulgaria 3) Determine all the possible values of a such that the equation x2 − 2x [x] + x − a = 0 has two real nonnegative roots ([x] is the greatest integer which does not exceed x). 4. (Bulgaria 4) Let ABO be an equilateral triangle of center S and A B O another equilateral triangle, in the same plane, having a common vertex O,, with A = S and B = S, so that the angles A OB and AOB have the same orientation. Let M be the midpoint of A B and N the midpoint of AB . Prove that the triangles SB M and SA N are similar. 5. (Cuba 1) Prove that for any triangle
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