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2010西部奥林匹克数学竞赛
2010 China Western Mathematical Olympiad 2. As shown in the 铿乬ure below, 戆错暗 is a diameter of a Taiyuan Shanxi circle with center 肀? Let 戆 and 戆 be two di铿€erent 28-29 October, 2010 points on the circle on the same side of 戆错暗, and the 2饊仛 lines tangent to the circle at points 戆 and 戆 meet 1. Suppose that 肀 and 肀 are non-negative integers, and 肀 = 2 + 1 is a prime at 戆? Segments 戆错胺 and 戆淀岸 meet at 戆? Lines 戆疙肮 number. Prove that and 戆错暗 meet at 肀€. Prove that 戆? 戆? 肀€ and 戆 are (a) 22饊仛+1肀 饊仒 鈮 1 (mod 肀 肀?1 ); concyclic. (b) 2肀?1肀 肀 is the smallest positive integer 肀 satisfying the congruence equation 2肀 鈮 1 (mod 肀 肀?1). Proof I. Join 肀傢岸, 肀傢胺 and 肀傢案. It follows from 鈭犿眰戆俄案 + 鈭犿案戆讽眰 = 90鈭 + 90鈭 = 饊仛+1 饊仒 180鈭 that 戆疙岸肀傢胺 is cyclic. If 肀 = 肀€, then 戆疙岸肀€戆 is cyclic. We may assume Proof. We want to prove that 22 肀 = 肀 肀?1肀№睒 + 1 for some integer 肀№睒 not 2饊仛
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