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一.正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 定理3(比较判定法的极限形式) 定理4（比值审敛法) 定理5 (根值审敛法，柯西判别法) 定理6 (极限审敛法) 二.交错级数及其审敛法 定理7 (莱布尼兹定理)　　 三.绝对收敛与条件收敛 证: 是单调递增有界数列, 再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s,有 . 对任意项级数 若 收敛, 绝对收敛 ； 则称原级 数 若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则 称原级 数 条件收敛 . 任意项级数:一般的级数,它的各项为又有正数, 又有负数的任意实数. 1.定义 为绝对收敛. 为条件收敛; 例如： 2.定理8 * 盐城工学院高等数学课题组 * * 盐城工学院高等数学课题组 二.交错级数及其审敛法 三.绝对收敛与条件收敛 一.正项级数及其审敛法 §11.2 常数项级数的审敛法 1.定义 的每一项都是非负数, 则称此级数是 正项级数. 设级数 2.定理 定理1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn} 有界. 故有界. ∴部分和数列 单调递增, 若 收敛 , 证: “ ” “ ” 从而 也收敛. 有界, 故 又已知 收敛 , 设 和 都是正项级数,且 即部分和数列 有界, 由定理1得 推论　设级数 和 是两个正项级数,且存在 自然数N，使当 时,有　　　（k 0)成立， 则有:若 收敛，则 也收敛. 则有:若 发散，则 也发散; 且当 时,有 成立， 例1 判定 p - 级数 的敛散性.常数 p0. 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 而调和级数 发散, 考虑级数 的部分和 由比较审敛法知 p 级数收敛. 结论: 例2.证明级数 发散. 证: 因为 由比较判别法可知，所给级数也发散. 而级数 是发散的； 证：(1)由极限定义可知,对 ,存在自然数N, 当nN时,有 (2)按已知条件知极限 存在,如果级数 收敛,则由结论(1)必有级数 收敛,但已知级数 发散，因此 而级数数 收敛,根据比较审敛法的推论, 知级数 收敛. 定理表明: 级数 不可能收敛，即级数 发散. 根据比较审敛法的极限形式知 而调和级数 是发散的， 根据比较审敛法的极限形式知 (达朗贝尔D’Alembert 判别法) 证:(1)当 ,取一个适当小的正数 ,使得 当 时,级数的一般项 逐渐增大, 由级数收敛的必要条件可知 发散. 但p 级数 ,当 时,级数收敛, 当 时,级数发散. 解: 例6.判别级数 由比值判别法可知 解 由根值审敛法可知该级数收敛. 证： (1)在极限形式的比较审敛法中，取 ， 由调和级数 发散,知结论成立. (2)在极限形式的比较审敛法中，取 ， 当p1时,p－级数 收敛,故结论成立. 根据极限审敛法知 根据极限审敛法知 1.定义 正、负项相间的级数称为交错级数.