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§31-4 算符的二次量子化形式 由于全同粒子系统具有的特点 产生 消灭 把全同粒子系统的算符写成 算符表示的形式,给计算带来简化 n粒子的全同粒子系统的力学量a有几种类型： n项 单体力学量 双体力学量 组合项 排列 组合项 排列 三体力学量 如动能 在外场中的势能 例 一对粒子的相互作用 势能： 例 应用在凝聚态和核物理理论根据不多,但实验数据多,与实验相符 全同粒子系统的二次量子化理论中,有两层表象 第i个粒子的Hilbert空间: 基矢： 即单粒子的完备物理量B的 本征矢—单粒子的B表象,即第一层表象 整个n粒子系统的Hilbert空间： 非对称化 基矢： 非对称化 在 中对称化 n粒子系统的对称化的Hilbert空间： 对称化的基矢： —n粒子系统的对称化的B表象,即第二层表象 将G写成对称化的B表象形式(用 完全性关系) (30.4) (31.28) (n；—略去) 上式积分中的矩阵元 中单体算符项为 (31.29) (31.30) 双体算符项为 (31.31) 项,注书上错误写成 项 — 对 也可写成类似式子 把(31.29),包括单体、双体等项一起代入(31.28),并开始执行排列 · 单体 换积分变量 (31.30) 对比(30.5)证明 (31.30) 组 第1组(1) 第2组(2) (2) 成对对调,符号不变(Fermi, ) 1 (2)对比(1)，显然一般不相等(但对Bose, 且 情形除外) (2) (1) 一般情况 但是 对于(1)有n!项求和,这些项一般都不相等(但对Bose,当有些 取相同的值或有些b相同的值时除外).但这些n!项经过(31.28)积分之后,每项积分都相等. (30.5) (30.6) 第1组(Ⅰ) 第2组(Ⅱ) 组 Ⅱ 1 成对对调,符号不变(Fermi, ) Ⅱ对比Ⅰ：各对先后次序不同, 相同 数值 符号 Ⅱ=Ⅰ 对于(Ⅰ)有n!项求和,这些项一般都不相等(但对Bose,当有些 取相同的值或有些b相同的值时除外).但这些n!项经过(31.28)积分之后,每项积分都相等. 例 则 Ⅰ= 由排列 产生的 项在积分后都是完全相同的, 因而可把 ◇ (31.32) 完全消去 对于双体项也是这样： 由排列 产生的 项在积分后都是完全相同的, 因而可把 (31.32)完全消去. · (31.30)中的n项单体算符项(不经过积分,与书不同)也是完全相同的,即 又 1 成对调换,符号不变(对Fermi: ) 对比 ：各对先后次序不同, 相同 数值 符号 同理, 从物理上看,对于全同粒子系统,单体力学量中的每一项 在对称化基矢中的矩阵元均应相同,即 对于双体项也是这样： (31.31)中的 项双体算符项(不经过积分,与书不同)也是完全相同的,即 同样,从物理上看,对于全同粒子系统,双体力学量中的每一项 在对称化基矢中的矩阵元均应相同,即 对于三体项 类推, (31.33) 其中 (31.34) 非对称化与 对称化不同 在推导过程中已把对称化操作(31.32)消去了 · 计算(31.33)的积分 先讨论含 的单粒子项 单粒子项= 空间 完全性关系 双粒子项、三粒子项 作类似处理, (31.35) —— 算符G的二次量子化形式 G中 ①含有矩阵元(数)+ 算符 产生 消灭 ②不出现粒子数n,适用粒子数n取任何值的系统 n=4 n=5 的系统是不同的,从G中看不出区别,但作用的态矢不同 例： · 讨论在对称化的位置表象,B=X G