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数学综合题34（全国1）已知数列中，，． （）求的通项公式； （）若数列中，，， 证明：，． （22）解： （）由题设： ， ． 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， ， 即的通项公式为，． （）用数学归纳法证明． （）当时，因，，所以 ，结论成立． （）假设当时，结论成立，即， 也即． 当时， ， 又， 所以　　 ． 也就是说，当时，结论成立． 根据（）和（）知，． 2（湖南）已知函数，. （1）设是函数图象的一条对称轴，求的值. （2）求函数的单调递增区间. 解：（1）由题设知. 因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）.所以. 当为偶数时，， 当为奇数时，. （2）. 当，即（）时， 函数是增函数， 故函数的单调递增区间是（）. （重庆）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且 . （1）求的通项公式； （2）设数列满足，并记为的前n项和，求证： . （）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。 又由an+1＝Sn+1- Sn＝， 得an+1- an-3＝0或an+1＝-an 因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。 因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。 （）证法一：由可解得 ； 从而。 因此。 令,则 。 因，故 . 特别的。从而， 即。 证法二：同证法一求得bn及Tn。 由二项式定理知当c＞0时，不等式 成立。 由此不等式有 ＝。 证法三：同证法一求得bn及Tn。 令An＝，Bn＝，Cn＝。 因，因此。 从而 ＞（浙江）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且. （1）求，，，； （2）求数列的前项和； （3）记，， 求证：. 解：（1）方程的两个根为，， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以． （2）解： . （3）证明：， 则，. 当时， ， 同时， . 综上，当时，. （全国2）设数列的首项． （1）求的通项公式； （2）设，证明，其中为正整数． 解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故． 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数． 方法二： 由（1）可知， 因为， 所以 ． 由可得， 即 两边开平方得 ． 即 为正整数． （四川）设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值; （）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. （20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： 由得：或 又 又 ，即 故由、得或