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上海各区县近年函数中档题40道（下） 1.（本题满分12分） 命题甲: R, 关于x的方程有两个非零实数解; 命题乙: R, 关于x的不等式的解集为空集; 当甲、乙中有且仅有一个为真命题时, 求实数a的取值范围. 2、（16分）已知关于的不等式，其中。 ⑴试求不等式的解集； ⑵对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。 3.（18分）对定义在函称为函数。① 对任意的总有；② 当时，总有成立与是定义在上的函数。 （1）问函数是否为函数并说明理由； （2）若函数是函数，求实数； （3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数。的定义域为，若命题与命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。 5．（本题16分）（第（1）小题7分，第（2）小题9分） 已知函数其中 证明函数f(x)的图像在y轴的一侧； 求函数与的图像的公共点的坐标。 阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题. 阅读题目：对于任意实数，证明不等式 . 证明：构造函数 . 注意到，所以 ， 即. （其中等号成立当且仅当，即.） 问题： （1）请用这个不等式证明：对任意正实数，不等式成立. （2）用（1）中的不等式求函数的最小值，并指出此时的值. （3）根据阅读题目的证明，将不等式进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明. 6.已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求的范围.设函数是定义在上的.若当时，在上的解析式. （2）请你作出函数的大致图像. （3）当时，若，求的取值范围. （4）若关于的方程有7个不同实数解，求满足的条件. 8．（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题8分） 已知函数。 （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。 9．（本题满分16分）函数 ⑴ 求证：的图像关于直线y=x对称； ⑵ 函数的图像与函数的图像有且只有一个交点，求实数的值； ⑶ 是否存在圆心在原点的圆与函数的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。 10．（本题满分16分）对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在有限的） 个不动点，求证：必为奇数。 11．（本题14分）设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为. （1）求函数的解析式； （2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标. 12．（本题16分）设定义在上的函数满足下面三个条件： ①对于任意正实数、，都有； ②； ③当时，总有. （1）求的值； （2）求证：上是减函数. 13（本题18分）已知函数 （1）讨论的奇偶性与单调性； （2）若不等式的解集为的值； （3）设的反函数为，若关于的不等式R）有解，求的取值范围. 14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。 （1）求函数的解析式； （2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）； （3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。 15、（本题满分17分） 设。 （1）求的反函数： （2）讨论在上的单调性，并加以证明： （3）令，当时，在上的值域是，求 的取值范围。 16．（本题满分14分） 集合A是由具备下列性质的函数组成的： (1) 函数的定义域是； (2) 函数的值域是； (3) 函数在上是增函数．，及是否属于集合A？并简要说明理由．，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论． 17.已知二次函数（R，0）． （Ⅰ）当０＜＜时，（Ｒ，求的最小值． （Ⅱ）如果[0，1]时，总有||．试求的取值范围． （Ⅲ）令，当时，的所有整数值的个数为，求数列的前 项的和． 18、（本题满分18分） 设为正整数，规定：，已知． （1）解不等式：≤； （2）设集合{0，1，2}，对任意，证明：； （3）探求； 19．已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。 （1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值。 20．已知曲线C：和直线 （1）当时，曲线C与直线有且仅有一个交点，求的取值范围 （2）当时，就的不同取值讨