2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2课时达标检测：第二章 2.2.1 综合法和分析法.docVIP

[课时达标检测] 一、选择题 1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ＋sin2 θ)(cos2 θ－sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ”中应用了(　　) A．分析法 B．综合法 C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 解析：选B　符合综合法的证明思路． 2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　) A．f(x)＝　　　　　　　B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：选A　本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数． 3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D. 解析：选B　是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a＋b＝3a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以≤＝ab≤，所以＋＝＝≥＝4. 4．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2R，且x1≠x2，则(　　) A.≤f B.＝f C.≥f D.＞f 解析：选D　因为x1≠x2，所以＝＞ ＝a＋1 ＝f，所以＞f. 5．A，B为ABC的内角，AB是sin Asin B的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　若AB，则ab， 又＝，sin Asin B； 若sin Asin B，则由正弦定理得ab， AB. 二、填空题 6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法． 解析：该证明过程符合综合法的特点． 答案：综合法 7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________． 解析：a＋b＞a＋b a－a＞b－b a(－)＞b(－) (a－b)(－)＞0 (＋)(－)2＞0， 故只需a≠b且a，b都不小于零即可． 答案：a≥0，b≥0且a≠b 8．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝________. 解析：因为sin θ＋cos θ＝，所以1＋sin 2θ＝，所以sin 2θ＝－.因为≤θ≤，所以π≤2θ≤. 所以cos 2θ＝－＝－. 答案：－ 三、解答题 9．设x＞0，y＞0，证明不等式(x2＋y2)＞(x3＋y3). 证明：法一：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)＞x6＋y6＋2x3y3，即证3x2y2(x2＋y2)＞2x3y3，因为x＞0，y＞0，所以只需证x2＋y2＞xy.又因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2≥2xy＞xy.所以(x2＋y2)＞(x3＋y3). 法二：(综合法)因为x＞0，y＞0，所以(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3＞x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，所以(x2＋y2)＞(x3＋y3). 10．设f(x)＝ln x＋－1，证明： (1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)； (2)当1＜x＜3时，f(x)＜. 证明：(1)记g(x)＝ln x＋－1－(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝＋－＜0. 又g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)． (2)记h(x)＝f(x)－， 则h′(x)＝＋－＝－＜－＝. 令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减，又p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0. 因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0， 则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜.