2017届全优指导高中数学人教A版选修2-1课件：3.2.3 利用向量求空间角.pptVIP

第3课时　利用向量求空间角 1.利用向量方法求两异面直线所成角 若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有cos θ=|cosa,b|= . 2.利用向量方法求直线与平面所成角 若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向 量为n,则有sin θ=|cosa,n|= . 做一做2　若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(　　)  A.120° B.60° C.150° D.30° 解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于90°-60°=30°. 答案：D 3.利用向量方法求二面角 (1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别 为n1,n2,则|cos θ|=|cosn1,n2|= ; (2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小. A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120° 解析：设所求二面角的大小为θ, 答案：C 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (　　) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (　　) (3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. (　　) (4)若二面角两个面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°. (　　) × × × √ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一利用向量方法求两异面直线所成角  【例1】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角. 分析：建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解：分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图). 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1　如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　　　　.  探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究二利用向量方法求直线与平面所成角  【例2】 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 分析：利用正三棱柱的性质,建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一种是由定义找出线面角;另一种是利用平面ABB1A1的法向量n求解. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)  答案：B 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究三利用向量方法求二面角  【例3】 如图,在正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值. 分析：有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义,在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的夹角求得二面角的大小. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解：设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3　导学图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.  解：如图,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2), 设AC的中点为M,因为BM⊥AC,BM⊥CC1, 所以BM⊥平面A1C1C, 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对空间角与向量夹角之间