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计算方法电子教案(第七章)1
* * 江西理工大学 第七章 非线性方程与非线性方程组解法 §7.1 二分法 1.4688 1.5 1.4375 5 - 1.4375 1.5 1.375 4 - 1.375 1.5 1.25 3 - 1.25 1.5 1 2 + 1.5 2 1 1 f(xn)的符号 xn bn an n §7.2 简单迭代法 7.2.1 简单迭代法的一般形式 1.3247 1.1948×1054 7 1.3249 100.2233 3 1.3247 1.0611×1054 6 1.3309 4.7168 2 1.3247 1.02×108 5 1.3572 1.875 1 1.3248 1.0066×106 4 1.5 1.5 0 k k 7.2.2 简单迭代法的收敛条件 定理7.1 证明 7.2.2 简单迭代法的误差分析和收敛阶 7.2.3.1 误差分析与算法 迭代过程是个极限过程。在用迭代式进行实际计算时，必须按精度要求控制迭代次数。误差估计式 7.2.3.2 局部收敛性与收敛阶 上面给出了迭代序列在区间上的收敛性，通常称为全局收敛性。因为有时不易检验定理1的条件，实际应用时通常只在方程解的邻近考察其收敛性，即局部收敛性。 定义7.1 定理7.2 证明 1.7321 1.7324 1.5 87 x3 3 1.7321 1.7348 2 9 X2 2 1.75 1.75 1.5 3 x1 1 2 2 2 2 x0 0 迭代法(4) 迭代法(3) 迭代法(2) 迭代法(1) xk k 从计算结果看出，迭代法(1)和迭代法(2)不收敛，迭代法(3)和迭代法(4)收敛，且迭代法(4)比迭代法(3)收敛快。为了衡量迭代法收敛速度的快慢，给出以下定义： 定义7.2 定理7.3 证明 §7.3 Newton迭代法 解非线性方程f(x)=0的Newton迭代法是把非线性方程线性化的一种近似方法. 7.3.1 Newton迭代法的迭代公式 把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 1.3688 1.3688 1.3693 1.4117 xn 4 3 2 1 n 7.3.2 Newton迭代法收敛性 对于牛顿法,迭代函数为 7.3.3 Newton迭代法变形 牛顿迭代法虽然收敛速度很快，但计算量比较大，因为每次迭代除计算函数值外还要计算导数值。为使计算简化，提出简化牛顿法. *
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