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第七讲 排列与组合初步 【例题1】 【分析】 问题即从 l 、 2 、 3 、 4 这四个数字中，每次取出三个排列起来，共有多少种不同的排列． 【解】 4×3×2 = 24 （个） 答：可以组成 24 个没有重复数字的三位数． 【例题2】 【分析】（l）每一个四位数都可以看成是从十个不同的元素中选取4个元素组成．由于千位上的数字不能是 O ，我们可以分两步来考虑：第一步，先排千位，从 1 ～9中进行选取，有 9 种选法．第二步，排后面三位．由于千位数字已经取走，只剩 9 个数字，从中任选 3 个，有 9×8×7 种选法． ( 2）对于偶数，个位上的数字只能是O、2、4、6、8．分个位为 O , 不为0两种情况讨论． 【解】（l) 9×9×8×7=4536 (2）如果个位为0，从其他 9 个数字中选3个排在前3位，有 9×8×7 = 504（个） 如果个位不为O，有4种，这时千位数字有8种选法，再从余下8个数字选2个排在其他两位．共有 4×8×8×7 = 1792 （个）， 综上504＋1792 = 2296 答：有 4536 个没有重复数字的四位数，有 2296 个没有重复数字的四位偶数． 【评析】（l）注意0不能在最高位上．(2）偶数的问题，应先考虑个位数字，并且注意分成个位为0与个位非0两种情况．本例的前一半还有另一种解法： 从 10 个数字中取 4 个，排成一列有 10×9×8×7 种，其中0在首位的有9×8×7 种 因此组成的 4 位数有 10×9×8×7一 9×8×7 = 4536 （个） 这种方法，先不考虑0不在首位的限制，算出有多少个排列，再减去0在首位的，也是很常用的．【例题3】 【分析】（ 2 ）中限定某人的坐法．可以先安排这个人，再安排其他人，分两步进行，采用乘法原理．也可以先不考虑这种限制，算出排列总数，然后去掉例外情况（减去某人坐在两端的排列数） . ( 3 ）中可将那两个人先当作一个人，然后再考虑那两个人的排列（即乘以 2 ) . 【解】（1) 5×4×3×2×1=120（种） (2) 3×（4×3×2×l）=3×24 =72（种）或5×4×3×2×1-2×( 4×3×2×1）= 120-48 = 72 （种）(3) (4×3×2×1) ×2=48（种） （4）总减相邻或用插空法均可3×2×1×4×3=72=120-48 答： (1）共有120 种排法： (2）共有72种排法； (3）共有45 种排法． 【评析】若（3）改为“某二人座位不相邻”，怎么解？请同学们去试一试． 【例题4】 【分析】把5本书借给7名同学，可理解为把 5 本书放在 7 个不同的位置上．个数较少的作为研究对象。 【解】 7×6×5×4×3 = 2520 （种） 答：一共有 2520种不同的借法．【例题5】 【分析】可以分两步，第一步先将四名甲队队员排好．第二步安排乙队 3 名队员，使他们互不相临．乙队队员只能排在甲队两名队员之间、所有甲队队员的前面或所有甲队队员的后面．因而有五个位置，并且每个位置至多只能有一个乙队队员． 【解】甲队队员有4×3×2×1 =24 种排法，甲队队员排好后，每个乙队队员有 5 个位置可站，并且每个位置至多只能有一个乙队队员，所以这就是从 5 个位置中选 3 个的排列，有5×4×3 = 60种排法． 由乘法原理，共有 24×60 = 1440 种排法． 答：一共有 1440 种不同的排法．【附加题】 【解】(1)将一排的位置顺次记为 l,2,3,4,5,6. l 号位置有6种选法．1号选完后,2号位置只有4种选法（不能选与 1 号同班的同学）1、2号选完后， 3 号位置有 2 种情况：( l ) 3 号选的与1号同班．这时5号必须选与 2 号同班的，只有 l 种．4、6号也同班，有 2 种选法（同班二人顺序可以交换）．只有1×2×1 = 2 （种） . ( 2 ) 3 号选的与 1 号不同班（当然与 2 号也不同班）.这时4号与3号不同班，有2种选择．剩下2个号码及2个人，可以任意排，也有2种，共2×2=4 种．6×4×( 2＋4 ) = 144 （种） 答：共有 144 种不同的站法． 【例题6】 【解】(1)甲不站在两边，因此有5种站法．如果甲站中间，其余6个人有 6×5×4×3×2×1=720种排法． （2）如果甲不在中间，甲有4种站法，这时乙有5种站法，其余的5个人有5!种站法,共有4×5×5!=2400种排法．因此共有720+2400=3120（种） 答：共有3120种排法． 【例题7】 【解】3＋3×2＋3×2×1 = 15 （种） 答：一共有 15 种不同的信号． 【附加题】 【解】(1)3×2×1 = 6 （种） (2)甲拿对时，乙拿丙的，丙拿丁