92二重积分的计算(二)-.pptVIP

解 因为被积函数为偶函数, 例9 求广义积分 所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。 (正态分布） 又因为被积函数 的原函数不是初等函数, D 令 利用极坐标计算H， 二、二重积分在极坐标下的计算 令 利用极坐标计算H， 所以 D 正态分布 二、无界区域上的广义二重积分 基本解法： 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解. 解 先考虑圆域 二、无界区域上的广义二重积分 二.二重积分在极坐标系中的计算 一.二重积分在直角坐标系中计算 小结 选择坐标系 选择积分次序 化为累次积分 计算累次积分 第二节 二重积分的计算 作业：P366 11（1），12（3），13（3） 14 下次课内容 第九章 二重积分习题课 第十章 微分方程 三.广义二重积分基本解法 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解. 1.二重积分在极坐标下的计算 （在积分中注意使用对称性） 小结 2.广义二重积分基本解法： 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解. 第二节 二重积分的计算(二) 解答 思考题 练 习 题 练习题答案 由区域的对称性和 函数的奇偶性可得 o x y D 解 例7 二重积分在极坐标下的计算 o x y 1 1 D 解 例8 二重积分在极坐标下的计算 二、二重积分在极坐标系下的计算 一、二重积分在直角坐标系下的计算 复习 二重积分的计算 选择坐标系 选择积分次序 化为累次积分 计算累次积分 （极点O在区域D的外部） （极点O在区域D的边界上） （极点O在区域D的内部） 只研究先对r后对θ的积分次序 x o D x o D x o D 第二节 二重积分的计算(二) 二重积分的计算 （一）在直角坐标系下计算二重积分 （累次积分） 或 y x d c X-型 Y-型 复习 y x a b 例 计算 其中 x y o 因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数 的特点,选择不同的坐标系来计算二重 积分是一个重要的问题. 第二节 二重积分的计算 解 (一)二重积分在极坐标系下的计算 (二)无界区域的的反常二重积分 第二节 二重积分的计算(二) 极轴X 极点O r x y 如果选取以直角坐标系的原点O为极点， 以x轴为极轴， 原点O x轴 二、二重积分在极坐标下的计算 用以极点O为中心的一族同心圆, 设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点， 把区域D分成n个小区域， 在极坐标系下， 以及从极点出发的一族射线, 在直角坐标系下 在极坐标系下 极坐标系下的面积微元 二、二重积分在极坐标下的计算 则 得 故面积微元为 这样二重积分在极坐标系下的表达式为 二、二重积分在极坐标下的计算 直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式 如何计算极坐标系下的二重积分？ 化为二次积分或累次积分来计算 二重积分在极坐标系下的表达式为 二、二重积分在极坐标下的计算 要解决两个问题： （2）确定积分的上、下限 （1）选择积分次序 化为二次积分或累次积分来计算 二、二重积分在极坐标下的计算 极坐标系下化二重积分为二次积分 (1)若极点O在区域 D 之外 则有 (2) 极点O在区域D的边界线上 则有 x o x o D D （只研究先对r后对θ的积分次序） 下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 ?型区域 (3) 若极点O在区域D的内部 则有 x o D o 特殊地 D D: x 二、二重积分在极坐标下的计算 或被积函数为f (x2+y2)、 利用极坐标计算二重积分积分特征 利用极坐标常能简化计算. 如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 等形式， 要点与步骤: 用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算; (2) 画区域图, 列出?型区域, 写成极坐标下的二次积分. 二、二重积分在极坐标下的计算 极坐标下二重积分计算的基本步骤 (1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分. ① 将 代入被积函数, ②将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限. 将面积元素 dxdy 换为 . (2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分. (3)计算二次积分. 则 解 二、二重积分在极坐标下的计算 例2 计算 其中 解 故 注：由于 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算. x y o 在极坐标系下 二、二重积分在极坐标下的计算 x y 例3 解