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第三章 第 一 节 一、罗尔( Rolle )定理 费马(fermat)引理 罗尔（Rolle）定理 (2)若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 注意 例1 证明 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理： 例2 填空题 例3 证明不等式 推论 例4 证明等式 三、柯西(Cauchy)中值定理 柯西(Cauchy)中值定理： 证: 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例5 设 例6* 试证至少存在一点 例6* 试证至少存在一点 内容小结 作 业 课外题 2. 3. 若 4. 设 5*思考: 在 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 运行时,点击标题“三、柯西----” 或 “柯西”按钮, 或相片, 可显示柯西简介, 并自动返回. 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 * 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 微分中值定理 与导数的应用 暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中 值 定 理 第三章 微分中值定理 与导数的应用 暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲 费马(fermat)引理 暨南大学珠海学院苏保河主讲 费马(1601 – 1665) 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 且 存在 证: 设 则 证毕 暨南大学珠海学院苏保河主讲 满足: (1) 在闭区间 [a , b] 上连续, (2) 在开区间 (a , b) 内可导, (3) f ( a ) = f ( b ), 使 证 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 则在( a , b ) 内至少存在一点 暨南大学珠海学院苏保河主讲 不妨设 则至少存在一点 使 则由费马引理得 暨南大学珠海学院苏保河主讲 (1)若 M = m , 则 因此 罗尔（Rolle）定理 满足: (1) 在闭区间 [a , b] 上连续, (2) 在开区间 (a , b) 内可导, (3) f ( a ) = f ( b ), 使 则在( a , b ) 内至少存在一点 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如: 暨南大学珠海学院苏保河主讲 罗尔（Rolle）定理 满足: (1) 在闭区间 [a , b] 上连续, (2) 在开区间 (a , b) 内可导, (3) f ( a ) = f ( b ), 使 则在( a , b ) 内至少存在一点 有且仅有一个小于1 的 正根. 证 1) 存在性 则 在 [0 , 1 ] 上连续, 且 由零点定理可知, 至少存在一点 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 设另有 上满足罗尔定理条件, 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真, 设 (用反证法) 原方程仅有一个小于1 的正实根. 综合1) 2) 可知, 原方程有且仅有一个小于1 的正根. 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 拉格朗日 (1736 – 1813) 暨南大学珠海学院苏保河主讲 (1)在闭区间[ a , b ]上连续, 满足: (2)在开区间( a , b )内可导, 则至少存在一点 使 思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 令 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证 [思路: 利用罗尔定理, 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 证毕 暨南大学珠海学院苏保河主讲 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 暨南大学珠海学院苏保河主讲 注 拉格朗日中值定理的几何意义 证 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 暨南大学珠海学院苏保河主讲 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证 在 I 上任取两点 上满足拉格朗日中值定理的条件, 由 的任意性知, 在 I 上为常数. 暨南大学珠海学院苏保河主讲 因此至少存在 证 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 经验 欲证 时 只需证在 I 上 暨南大学珠海学