广东省佛山一中2017-2018学年高二下学期第一次段考数学（理）试题.docx

2017~2018高二下学期第一次段考理科数学试题命题人：李维、吴以浩一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列函数求导运算正确的个数为①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③′＝cos ；④′＝x.A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数，若在处取到极大值，则的取值范围是A. B. C. D. 4. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D. 5. 已知曲线的方程为，给定下列两个命题：若，则曲线为椭圆；若曲线是焦点在轴上的双曲线，则．那么，下列命题中，真命题是A. B. C. D. 6. 若函数在上是增函数，则的取值范围是A. B. C. D. 7. 设函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是A. B. C. D. 8. 曲线上的点到直线的最短距离是A. B. C. D. 9. 某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，瞬时融化速度等于的时刻是图中的A. B. C. D. 10. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 11. 已知函数，若且，则的取值范围是A. B. C. D. 12. 已设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中，若存在唯一的整数x0，使得，则a的取值范围是A. [，1)B. [)C. [)D. [，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 定积分的值为．14. 已知三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为．15. 若直线与曲线相切，则．16. 是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm2.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m3，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．18. (本小题12分)已知．经计算得，，，．（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19. (本小题12分)如图，在三棱柱中，，，点是线段的中点．[来源:学。科。网Z。X。X。K]（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．20. (本小题12分)设函数．（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围．21. (本小题12分)已知椭圆的离心率是，且过点．直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线，分别与轴交于点，．判断，的大小关系，并加以证明．22. (本小题12分)已知函数，，其中．设．（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时，函数有两个不同的零点，．①求的取值范围；②求证：．2017~2018高二下学期第一次段考理科数学答案命题人：李维、吴以浩一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．ADBBC DDACB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 14.15. 16. 5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，………………………………1分所以h＝(300－4r2)，…………………………………………………………………………………2分从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．………………………………………………………………………4分因r0，又由h0可得r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．………………………………………………………………………5分(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，………………………………………………6分令V′(r)＝0，解得r1＝5.r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．……………………………7分当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；……………………………………………8分当r∈(5,5)时，V′(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数．………………………………………9分由