吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学必修三：1.3算法案例（第1课时）改改改.ppt

1.3 算 法 案 例 (第一课时) 求以下几组正整数的最大公约数。 （1）（18，30） （2）（63，63） （3）（301，133 ） 解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6 想一想，如何求8251与6105的最大公约数？ 例1、求18与24的最大公约数： 6； 63； 7； 短除法 一.辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例2 .用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2+0 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 练习1：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） （2）（72，168） 45 24 辗转相除法的程序框图与程序 开始 输入m,n r=mMODn m=n n=r r=0？ 输出m 结束 否 是 INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 二.《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。 例3、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解） 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。 = 7 所以，98和63的最大公约数等于7。 （98，63） =（63，35） 98-63=35 ?? 63-35=28 =（35，28） 35-28=7 =（28，7） 28-7=21 =（21，7） 21-7=14 =（14，7） 14-7=7 =（7，7） 练习2：用更相减损术求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） （2）（72，168） 45 24 把更相减损术与辗转相除法比较,你有什么发现?你能根据更相减损术设计程序,求两个正整数的最大公约数吗? 思考? 程序： INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 WEND DO IF ba THEN t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2^i END 开始 输入：a,b 输出：a×2i 结束 a=b? a=a/2,b=b/2 是 a=a-b t=a,a=b,b=t ba? a MOD 2=0且b MOD 2=0? 是 否 否 否 是 i=0 i=i+1