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实际应用题专题 上海市市北中学 邹建兵 经典例题 【例1】某观测站在城市南偏西方向上，由出发有一条公路，方向南偏东．在观测距离31公里的处有一辆车正沿公路向城驶去。该车行使20公里到达处，此时距离为21公里，试问该车还需行使多少公里到达城？ 解：由题意可知: 在中， ． ． 在中， 即． ． 答：该车还需行驶15公里． 点评：在三角形应用题中,要学会使用正弦、余弦定理和面积公式,并熟悉解三角形的四种模式,合理使用三角恒等变形。在必要时，也要学会使用解析法解三角形． 【例2】某牧场要建造占地100平方米的矩形围墙,现有一排长为20米的旧墙可利用，为节约投资，围墙的一边可部分或全部利用旧墙整修，另外三边尽量用拆去的旧墙材料建造，不足部分购置材料新建.已知整修1米旧墙需24元，改造1米旧墙需100元，新建1米新墙需200元，应如何设计矩形的长与宽,可使花费费用最少? 解：设矩形围墙长为米，总花费费用为元，此时围墙宽为米 ．当时， ．（当且仅当取得等号） ．当时，． 当时，函数单调递增 ， 当时，． 答：当矩形的长为米，宽为9米时，可使花费费用最少． 点评：函数型应用题多以二次函数、反比例函数、耐克函数、指数函数、对数函数及分段函数等形式构。在建立函数模型后，要能够使用方程、不等式、函数性质（最值等）等解决各种实际问题． 【例3】2005年底某市有待业人员10万人,据测算该市在以后平均每年新增待业人员8千人,市政府采取有力措施增加工作岗位,预计2006年可提供新增岗位5千个,以后以每年10％的平均速度递增． （1）求2008年底的待业人员数量比2006年底待业人员增加多少? （2）⑵哪一年底待业人员数量达到最大值? （3）从哪一年开始,待业人员总量少于5万人? 解：（1）设每年实际待业人员变化的数量为千人，每年实际待业人员数量为千人． （2） ，即2010年底． （3） 由计算器可知：． 答：2008年底比2006年底增加待业人员数量为4450人；到2010年底待业人员数量达到最大值；从2022年开始，待业人员总量少于5万人． 点评：数列型应用题应从通项公式、或递推关系选择恰当角度建模，向基本的等差与等比数列方向转化，并熟悉数列的求和与最值解法，使用函数与不等式知识求解． 【例4 】上海世博会上有一件展品为一个圆锥体,其全面积为平方米,底面半径为米． （1）当时,求其体积； （2）当体积取得最大值时，求底面半径． 解：（1）设圆锥的高为米，由题意可知： ． （2）， 即 当时，． 答：体积为立方米；当体积最大时，半径为米． 点评：立体几何型应用题多以多面体或旋转体为载体，考察点线面数量关系和表面积及体积．在解答过程中，要熟练掌握角和距离的求解，要注意函数思想与方法与立体几何知识的综合． 【例5】苏州河上一段河沿为两条平行线段，河沿宽为16米，与河沿垂直的平面与河的交线为一抛物线，其对称轴与地面垂直，河深8米，河中水深4米 （1）求水面宽。 （2）上海市政府在整治苏州河过程中，要将 这段河床改挖（不许填土）成等腰梯形的河，使河 的底面与地面平行，则改挖后的河底宽为多少米时 所，挖土最少？ 解：（1）如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 当时, 水面宽为米 （2）设直线与轴交于,斜率为,等腰梯形面积为,由题意可知： ， ，当时,． (当且仅当取得等号) 时，． 答：水面宽为米，改挖后的河底宽为米． 点评：在解答解析几何型应用题时，要熟练掌握解析法并应用解析几何知识进行求解。在解答过程中，要学会将基本不等式和函数知识等有机结合并进行综合使用． 实际应用题专题检测题 一、填空题（每小题4分，满分40分） 据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域与时间年关系可近似看作指数函数关系，已知近3年污染区域从降至，则污染区域降至还需要______年． 我国发射的“神舟”号宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距离地面千米，远地点距离地面千米，地球半径为千米，则飞船运行的轨道短轴长为__________千米． 已知两座灯塔和与海洋观测站的距离都等于，灯塔在观测站的北偏东，灯塔在观测站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为_______． 一批货物随17列火车从市以千米/小时匀速到达市,已知两地铁路线长为400千米,为了安全,两列火车的间距不得小于千米,那么将这批货物全部运到市,最快需要______小时． 一个大风车半径为8米,每12分钟旋转1周,最低点距地面2米.若风车上一物体从最低点按逆时针