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1. 一母體包括五個數字 2, 3, 6, 8 及 11。若採用放回式，抽取兩個數字，考慮所有可能的兩個數字樣本，求 (a) 母體之平均數； (b) 母體之標準差； (c) 各樣本平均數的平均數； (d) 各樣本平均數的標準差。 解： 假設 X 為母體。 (a) 母體之平均數 (X = = = 6 (b) 母體之變異數 ( = – ( = – 62 = 10.8 ( 母體之標準差 (X ( 3.2863 (c) 共有 25 個樣本如下： (2, 2) (2, 3) (2, 6) (2, 8) (2, 11) (3, 2) (3, 3) (3, 6) (3, 8) (3, 11) (6, 2) (6, 3) (6, 6) (6, 8) (6, 11) (8, 2) (8, 3) (8, 6) (8, 8) (8, 11) (11, 2) (11,3) (11, 6) (11, 8) (11, 11) 各樣本的平均數如下： 2.0 2.5 4.0 5.0 6.5 2.5 3.0 4.5 5.5 7.0 4.0 4.5 6.0 7.0 8.5 5.0 5.5 7.0 8.0 9.5 6.5 7.0 8.5 9.5 11.0 各樣本平均數的平均數 ( = = 6 由此可顯示 ( = (X (d) 各樣本平均數之變異數 ( = – 62 = 5.4 ( 各樣本平均數之標準差 ( ( 2.3238 由此可顯示 ( = 2. 一食米包裝機器是設計來注入每包 2 kg 的米，廠長相信現時機器是設定注入每包 2.03 kg 的米。每包米的重量呈常態分配，標準差為 0.1 kg。一袋米有 36 包米。求 (a) 一包米的重量少於 2 kg 的機率； (b) 一袋米的重量少於 72 kg 的機率。 解： 假設 X (kg) 為一包米的重量。 (a) 依題意， X ~ N(2.03, 0.12) 則 P(X 2) = P( ) = P(Z –0.3) ( 0.5 – 0.1179 = 0.3821 (b) 依題意， ~ N(2.03, ) 則 P( 2) = P( ) = P(Z –1.8) ( 0.5 – 0.4641 = 0.0359 3.# 假設長途電話通話時間呈常態分配，其平均通話時間為 8 分鐘，標準差為 2 分鐘。 (a) 若隨機抽取 25 通長途電話為樣本，樣本平均數介於 7.8 和 8.2 分鐘之間的比例為若干？ (b) 若隨機抽取 100 通長途電話為樣本，樣本平均數介於 7.8 和 8.2 分鐘之間的比例為若干？ (c) 下列何者較可能發生？試說明之。 (i) 某一通長途電話超過 11 分鐘； (ii) 取 25 通電話為樣本，其樣本平均數超過 9 分鐘； (iii) 取 100 通電話為樣本，其樣本平均數超過 8.6 分鐘。 解： 假設 X（分鐘）為長途電話的通話時間。 且 X ~ N(8, 22) (a) 依題意， ~ N(8, ) 則 P(7.8 8.2) = P( ) = P(–0.5 Z 0.5) ( 0.1915 + 0.1915 = 0.3830 (b) 依題意， ~ N(8, ) 則 P(7.8 8.2) = P( ) = P(–1 Z 1) ( 0.3413 + 0.3413 = 0.6826 (c) (i) P(X 11) = P( ) = P(Z 1.5) ( 0.5 – 0.4332 = 0.0668 (ii) P( 9 ; ~ N(8, )) = P( ) = P(Z 2.5) ( 0.5 – 0.4938 = 0.0062 (iii) P( 8.6 ; ~ N(8, )) = P( ) = P(Z 3) ( 0.5 – 0.4987 = 0.0013 ( 某一通長途電話超過 11 分鐘的情況較可能發生，因其發生之機率在三種情況中為最大。 4. 電池壽命呈常態分配，平均壽命為 8,200 小時，變異數為 2,500。 (a) 電池壽命超過 8,300 小時的機率是多少？ (b) 隨機抽取 40 個電池， (i) 樣本平均壽命介於 8,210 至 8,220 小時的機率是多少？ (ii) 有 0.95 的機率電池壽命會少於多少小時？ 解： 假設 X 為電池的壽命。 (a) 依題意， X ~ N(8200, 2500) 則 P(X 8300) = P( ) = P(Z 2) ( 0.5 – 0.4772 = 0.0228 (b) 依