黄冈中学高考数学典型例题13---数列的通项与求和（可编辑）.docVIP

黄冈中学高考数学典型例题详解 数列的通项与求和 每临大事必有静气静则神明疑难冰释 积极准备坦然面对最佳发挥舍我其谁 数列是函数概念的继续和延伸数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲数列的问题最终归结为对数列通项的研究而数列的前n项和Sn可视为数列 Sn 的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一与数列极限及数学归纳法有着密切的联系是高考对数列问题考查中的热点本点的动态函数观点解决有关问题为其提供行之有效的方法 ●难点磁场 ★★★★★ 设 an 是正数组成的数列其前n项和为Sn并且对于所有的自然数nan与2的等差中项等于Sn与2的等比中项 1 写出数列 an 的前3项 2 求数列 an 的通项公式 写出推证过程 3 令bn n∈N 求 b1b2b3bn－n ●案例探究 〔例1〕已知数列 an 是公差为d的等差数列数列 bn 是公比为q的 q∈R且q≠1 的等比数列若函数f x x－1 2且a1 f d－1 a3 f d1 b1 f q1 b3 f q－1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设数列 cn 的前n项和为Sn对一切n∈N都有 an1成立求 命题意图本题主要考查等差等比数列的通项公式及前n项和公式数列的极限以及运算能力和综合分析问题的能力属★★★★★级题目 知识依托本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显而 2 中条件等式的左边可视为某数列前n项和实质上是该数列前n项和与数列 an 的关系借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口 错解分析本题两问环环相扣 1 问是基础但解方程求基本量a1b1dq计算不准易出错 2 问中对条件的正确认识和转化是关键 技巧与方法本题 1 问运用函数思想转化为方程问题思路较为自然 2 问借鸡生蛋构造新数列 dn 运用和与通项的关系求出dn丝丝入扣 解 1 ∵a1 f d－1 d－2 2a3 f d1 d2 ∴a3－a1 d2－ d－2 2 2d ∵d 2∴an a1 n－1 d 2 n－1 又b1 f q1 q2b3 f q－1 q－2 2 ∴ q2由q∈R且q≠1得q －2 ∴bn b·qn－1 4· －2 n－1 2 令 dn则d1d2dn an1 n∈N ∴dn an1－an 2 ∴ 2即cn 2·bn 8· －2 n－1∴Sn 〔1－ －2 n〕 ∴ 〔例2〕设An为数列 an 的前n项和An an－1 数列 bn 的通项公式为bn 4n3 1 求数列 an 的通项公式 2 把数列 an 与 bn 的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列证明数列 dn 的通项公式为dn 32n1 3 设数列 dn 的第n项是数列 bn 中的第r项Br为数列 bn 的前r项的和Dn为数列 dn 的前n项和Tn Br－Dn求 命题意图本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系集合的相关概念数列极限以及逻辑推理能力 知识依托利用项与和的关系求an是本题的先决 2 问中探寻 an 与 bn 的相通之处须借助于二项式定理而 3 问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 错解分析待证通项dn 32n1与an的共同点易被忽视而寸步难行注意不到r与n的关系使Tn中既含有n又含有r会使所求的极限模糊不清 技巧与方法 1 问中项与和的关系为常规方法 2 问中把3拆解为4－1再利用二项式定理寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔 3 问中挖掘出n与r的关系正确表示Br问题便可迎刃而解 解 1 由An an－1 可知An1 an1－1 ∴an1－an an1－an 即 3而a1 A1 a1－1 得a1 3所以数列是以3为首项公比为3的等比数列数列 an 的通项公式an 3n 2 ∵32n1 3·32n 3· 4－1 2n 3·〔42nC·42n－1 －1 C·4· －1 －1 2n〕 4n3 ∴32n1∈ bn 而数32n 4－1 2n 42nC·42n－1· －1 C·4· －1 －1 2n 4k1 ∴32n bn 而数列 an a2n1 ∪ a2n ∴dn 32n1 3 由32n1 4·r3可知r ∴Br ●锦囊妙计 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性又要注意数列方法的特殊性 2 数列 an 前n 项和Sn与通项an的关系式an 3求通项常用方法 ①作新数列法作等差数列与等比数列 ②累差叠加法最基本形式是an an－an－1 an－1an－2 a2－a1 a1 ③归纳猜想法 4数列前n项和常用求法 ①