第5部分 第11讲.ppt

第十一讲　解三角形的应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 1．有关角的概念 (1)方向角：指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成：正北或正南，北偏东30°，北偏西30°，南偏东30°度，南偏西30°等． (2)方位角：指从正北方向____________旋转到目标方向线的夹角． (3)俯角、仰角：指视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，∠DOC是_____角，∠EOC是_____角． 2．用正、余弦定理解决实际问题或几何问题的一般步骤 (1)审题：理解题意，分清已知和未知，画出示意图． (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解：用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 1．已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°，灯塔B在观测站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°　 B．北偏西10° C．南偏东10°　 D．南偏西10° 解析　选B.根据方向角的定义可知． 2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　) 3．(2011·上海卷)在相距为2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点间的距离是千米． 4．圆内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC的长为________． 例1 点评　本题考查应用三角形知识解决实际问题的能力．求解此类问题首先要读懂题意，分析清已知与未知，将实际问题转化为三角问题，同时要注意问题的特点．本题关键是发现AB＝BD的结论，然后在三角形ABC中应用正弦定理． 1 解析　填30.如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°， 例2 点评　(1)解决实际应用问题的过程都要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． (2)转化为解三角形模型后，通常会遇到如下两种情况：①已知量与未知量全部集中在某一个三角形中，此时直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择满足条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余三角形中求出问题的解． 2 例3 点评　解决与三角形有关的几何应用问题时，关键是合理地设出角度，再利用正弦定理和余弦定理表示出有关边、建立有关函数关系式，转化为三角函数问题． 3 1．三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，因此，三角函数的应用十分广泛．解三角形的常见应用题型有：(1)测量问题；(2)航行问题；(3)几何问题． 2．解三角形应用题的基本思路是： (1)准确理解题意，分清已知与所求，并准确理解题中的有关名称、术语(如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等)，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题； (2)根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在一个或几个三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求解数学模型的解； (4)检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解，并进行作答． 利用正余弦定理解决几何问题 题型3 3．如图所示，扇形AOB中，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值． 名师点拨 第五部分　三角函数 人教版文科数学 栏目导航 第*页 3 4 5 6 经典例题 名师点拨 达标检测 1 2 学习目标 自主建构 基础落实 学习目标 自主建构 按顺时针 俯 仰 基础落实 经典例题 运用正、余弦定理解决测量问题 题型1 1．广州2010年第16届亚运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，则旗杆的高度为30米． 利用正、余弦定理解决航行问题 题型2 2．位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在某南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值． * * 第五部分　三角函数 人教版文科数学 栏目导航 第*页