第6章 方程与方程组的迭代解法.ppt

第6章 方程与方程组的迭代解法 方程求根法 线性代数方程组迭代解法 非线性方程组的迭代解法 引言 6.1 方程求根法 试探法与二分法 迭代法及其收敛条件 迭代法收敛速度 加速收敛技术 牛顿迭代法 弦割法 6.1.1 试探法和二分法 试探法 二分法（区间平分法） 求方程 f(x)=0的根的二分法算法 例题 例 设方程 解：取h=0.1,扫描得： 又 即 在 有唯一根。 6.1.2 迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 迭代法及收敛性 考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得 迭代法及收敛性 若 收敛， 即 故 是 的一个根 迭代法的几何意义 交点的横坐标 简单迭代法 将 变为另一种等价形式 。 选取 的某一近似值 ，则按递推 关系 产生迭代序列 。这种方法称为简单迭代法。 例题 例题 精确到小数点后五位 例题 但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列 迭代法的收敛性 迭代收敛定理 证明：不失一般性，不妨设 否则 为方程的根。 首先证明根的存在性 令 迭代收敛定理 则 ， 即 由条件2） 是 上的连续函数 所以 是 上的连续函数。 故由零点定理 在 上至少有一根 迭代收敛定理 再证根的唯一性 设有 均为方程的根 则 因为 0L1 ，所以只可能 ， 即根是唯一的。 迭代收敛定理 最后证迭代序列的收敛性 与n 无关，而0L1 即 迭代收敛定理 误差估计 若 满足定理条件，则 这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。 这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。 例题 例 证明函数 在区间[1,2]上满足迭代收敛条件。 证明： 例题 例题 若取迭代函数 ， 不满足收敛定理，故不能确定 收敛到方程的根。 简单迭代收敛情况的几何解释 6.1.3 迭代收敛速度 迭代法收敛的阶 定义 设序列 收敛到 ，若有实数 和非零常数C，使得 其中， ，则称该序列是p 阶收敛的，C 称为渐进常数。 迭代法收敛的阶 当p=1时，称为线性收敛； 当p1时，称为超线性收敛； 当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。 迭代法p 阶收敛的充要条件是：迭代函数 满足 6.1.4 加速收敛技术 6.1.5 Newton迭代法 Newton迭代法 去掉 的二次项，有： 即 以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得： Newton迭代法 Newton迭代法几何解释 几何意义 例 用牛顿法求 的近似解。 解：由零点定理： 例题 例 用Newton法计算 解： Newton迭代法算法框图 Newton迭代法算法 Newton迭代法收敛性 定理 设函数 ，且满足 若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在[a,b]上的唯一根。 Newton迭代