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有关 n 维单形几个不等式的稳定性 杨世国1 ，王文2 ，钱娣2 ，潘娟娟2 ( 1． 合肥师范学院数学系，安徽 合肥 230061; 2． 安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230039) 摘要: 利用距离几何的理论与方法研究了欧氏空间中 n 维单形的几个几何不等式的稳定性，从两个单形的“偏正” 度量证明了 n 维单形四个重要几何不等式的稳定性，并给出这些几何不等式的稳定性版本。 关键词: 单形; 外接球半径; 内切球半径; 旁切球半径; 稳定性 中图分类号: O178 文献标志码: A The stability of some inequalities for a simplex YANG Shi-guo 1 ，WANG Wen2 ，QIAN Di2 ，PAN Juan-juan2 ( 1． Department of M athematics，Hefei Normal University ，Hefei 230061，Anhui，China; 2． School of M athematics Sciences，Anhui University ，Hefei 230039，Anhui，China) Abstract: Using the theory and method of distance geometry ，the problems of stability of some geometric inequalities for an n-dimensional simplex in the Euclidean space is studied． From the deviation regular metric of tw o simplexes，the stabilities of four important geometric inequalities of an n-dimensional simplex are proved，and the stability versions of these geometric inequalities for a simplex are given． Key words: simplex ; circum -radius; in-radius; radius of escribed ball; stability 1 引言及主要结果 M inkow ski 最早提出了几何不等式稳定性这一概念［1］，有时也称为几何不等式稳定性版本，自 20 世纪 80 年代以来得到了系统研究，它的理论与方法在体积学，仿晶体和机器人学等领域得到广泛应用［2-7］。文献 ［8］中对几何不等式的稳定性概念给出了准确的描述，简单地说，几何不等式的稳定性是指在一些几何不等 式中，几何体为某种特殊几何体时取等号。假如某几何体使得不等式与相等式的差很小，那么此几何体与取 等号时特殊几何体的“偏差”也很小，称此几何不等式是稳定的。关于 n 维单形的几何不等式，由于其支撑 函数( support function) 或向径函数的表达式很难找到，使得单形的很多重要几何不等式的稳定性的研究极 为困难。最近马统一引进了单形“偏正”度量的概念［9］，并利用“偏正”度量研究了单形的 Veljan-Korch- maros 型不等式的稳定性问题。本文利用“偏正”度量研究了 n 维单形几个几何不等式的稳定性问题，证明 了单形几个几何不等式是稳定的，并给出这些几何不等式的稳定性版本。 n 本文中约定 n 维欧氏空间 En 中 n 维单形 Ω 的顶点为 A 0 ，A 1 …，A n ，棱长 aij = | A i A j | ( 0 ≤i ＜ j ≤n) ，也 i ? 1 记为 a i = 1，2，…， 2 n( n + 1 ) ? ; 侧面 fi = A 0 …A i － 1 A i + 1 …A n ( n － 1 维单形) 面积为 Fi ( i = 0，1，…，n) ; 侧面 fi 上的高为hi ，单形Ωn 的体积为V ，外接球与内切球半径分别为R 、r ，单形Ωn 的旁切球半径为r i ( i = 0 ，1 ， 收稿日期: 2009-12-24 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( ; 安徽省高校省级重点基金资助项目( KJ2009A45) 作者简介: 杨世国( 1952 － ) ，男，教授，主要从事距离几何研究． Email: yangsg @ hftc． edu． cn  …，n) 。 n 定义 1. 1［9］ 对 n 维单形 Ω ，记 a珔= 1  μn，1 ∑a ，以 a珔为棱长的 n 维正则单形记为珚Ω ，