有关定积分计算和证明的方法.pptVIP

二、有关定积分计算和证明的方法 例1. 求 例2. 选择一个常数 c , 使 例3. 设 例4. 证明恒等式 例5. 证明: 令 思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 例6. 例7. 设 * 1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 即 可使原式为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 则 因此 又 故所证等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 试证 使 分析: 要证 即 故作辅助函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点 在 上连续, 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此 故所证等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 , 存在一点 如果能, 怎样设辅助函数? 要证: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 ?, 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: (1) 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 设 满足柯西中值定理条件, 于是存在 即 证: 设 且 试证 : 则 故 F(x) 单调不减 , 即 ①成立. ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 典型 P221 例4.8 典型 P241 例5.8 (L.P164 中1) (L.P165 中 2(1)(2) ) (L.P165 中2(3) ; 3) (L.P166 中4) ( L. P171 例5(2) ) * * * * *