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数模竞赛微分方程讲稿 主讲人：丁正中教授 （3）口服或肌肉注射情况： 这时 为函数向量； 在一系列时刻点 ti ( i = 1 , 2 , … , n ) 上，从中心室采取 血样，获得血药浓度 c1( ti ) , 记 利用最小二乘法，先算 α、β、A1 、B1 . 2. 房室模型中的参数估计问题 以快速静脉注射情况为例。 这时有解析解表达式： 当 t 充分大时， 无妨设 αβ . 用适当大的 ti 和相应的 c1(ti) 根据 最小二乘法，算出 α 和 A1; 然后以同样方法，由 及数据，计算出 β 和 B1 . （2）再算 k12 , k21 , k13 . 利用 α、β、A1 、B1 ， 求解关于 k12 , k21 , k13 的代数方程，得： (2) F( r , t ) 为关于 r , t 的连续可微二元函数，记 (4) 任何时刻 t ，出生婴儿的人口分布密度（即单位时间 内出生的婴儿数）为已知函数 p ( 0 , t ) = p1 ( t ) ； 二．偏微分方程建模实例 考虑年龄结构的人口连续模型 不考虑人口的迁移，只考虑自然的出生和死亡，建立有 年龄结构的人口连续模型。记 F( r , t ) 为时刻 t 时， 年 龄小于 r 的人口总数，称之为人口分布函数。 建模假设：(1) 人的最大年龄为常数 rm ； 称为年龄的人口分布 密度函数 ； (3) 初始时刻的人口分布密度为已知函数 p ( r , 0) = p0 ( r ) 建模过程 考虑年龄在 [ r , r + dr ] 之间的人群从时刻 t 到时刻 t + dt 的变化情况，这部分人原来的人数近似为 p ( r , t ) ? dr , 经过 dt 时间后，这部分人中继续生存的 年龄位于 [ r + dt , r + dr + dt ] 之间，其总人数近似为 p ( r + dt , t + dt ) ? dr , (5) 任何时刻 t 和任何年龄 r 处的人口死亡率为已知函数 这部分人中死亡人数近似为 应有 任何时刻的总人数为： 某时刻 t 处，在年龄段 [ r1 , r2 ] 中的总人数为： 平均年龄为： t r rm 0 可以证明，这样的 初、边值问题 是 适定 的。 热量（物质）扩散模型 建模假设：(1) 细杆长度为 l ， 其材料是均匀的，即 细杆的密度 ρ（克 /厘米3 ）， 比热系数 c （卡 / 克·度 ）均为常数 ； (2) 杆中热量传导服从 Fourier 定律，即单位时间内 通过单位面积的热量与温度关于位置量 x 的下降率成 正比 ，比例系数（导热率）为常数 k ; (3) 杆的左段温度为 u ( 0 , t ) = u1 , 杆的右段温度为 u ( l , t ) = u2 , u1 u2 , 均为已知常数 ； (4) 细杆的初始温度分布为已知函数 u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) . 一根均匀细杆，沿着杆长方向 x 维持一定的温度差， 试建立杆上每一点 x 处关于时间 t 的温度分布模型 . 建模过程 取细杆的一小段 [ x , x +Δx ] , 设细杆的截面 积为 s 0 厘米2 ，记 q ( x , t ) 为热流密度（卡 / 秒· 厘米2 , 单位时间内通过单位面积的热量 ）， （ρ· Δx · s 0 ）·c · [ u ( x , t +Δt ) – u ( x , t )] （卡） ， 则在 Δt 时间内，沿 x 方向流入小段 [ x , x +Δx ] 的 总热量数近似为： q ( x , t ) · s 0 ·Δt （卡） , 流出小段 [ x , x +Δx ] 的总热 量数近似为： q ( x +Δx , t ) · s 0 ·Δt （卡） , 流入小段与流出小段的热量差使得小段的温度升高，