第七章节数学物理方程定解问题1课件(1996KB).pptVIP

* 阜师院数科院 3.衔接条件 系统中可能出现物理性质急剧变化的点－跃变点。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。 衔接条件更加依赖于具体的物理情况。 横向力 作用于 点。 弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。 例 又，横向力应与张力平衡： 这两个等式就是衔接条件。 * 阜师院数科院 求解数学物理方程 方法： 行波法 驻波法 积分变换 格林函数法 * 阜师院数科院 7.4 达朗贝尔公式 定解问题 （一）波动方程的达朗贝尔公式 将 和 看作如同数 －算子，可以加减乘除： A.坐标变换 行波法 因式分解 * 阜师院数科院 当 a=1 沿 x 和 t 求导，变成沿对角线求导。 变换： * 阜师院数科院 即 * 阜师院数科院 B.通解 对 积分： 积分常数依赖于 再积分： 为两个待定函数的和。 * 阜师院数科院 坐标变换： 新、旧坐标 时间同， 新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 ， 在旧坐标中以速度 d 沿正向运动。 f1 (x+at) 保持形状不变， 以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动。 意义 函数 f2(x-at) 保持形状不变， 以速度 d 运动沿 x 轴正方向运动。 * 阜师院数科院 C.定解 达朗贝尔公式 确定待定函数的形式 无限长，即无边界条件。 设初始条件 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 行波 一半 一半 * 阜师院数科院 例 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 例 解： 设 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 从达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。 而这种演化又受到边界条件的限制。 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程度解时的重要性。 * 阜师院数科院 （二）端点的反射 一个端点固定 设初始条件为 边界条件 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。 * 阜师院数科院 上式中后两项无意义。 必须将 u(x,t) 延拓到 作奇延拓： x * 阜师院数科院 对称点 延拓 * 阜师院数科院 * 阜师院数科院 半波损失 * 阜师院数科院 一个端点自由 设初始条件为 边界条件 应该是偶延拓 * 阜师院数科院 偶延拓 * 阜师院数科院 无半波损失 * 阜师院数科院 （三）跃变点的反射 无限长杆，x0，x0 两部分的杨氏模量和密度分别为 。x=0 是跃变点。 设有行波 从区域 I 向 x=0 点运动。到 x=0 产生反射和透射。 取此波在 t=0 时刻抵达 x=0 . * 阜师院数科院 衔接条件 区域 I 中的行波： 区域 II 中，只有透射波 * 阜师院数科院 衔接条件 * 阜师院数科院 又 反射系数 透射系数 * 阜师院数科院 习题 7.4.1 解： 习题 7.4.6 设初始条件为 和 边界条件 阜师院数科院 * 阜师院数科院 第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程的定解问题 7.1 数学物理方程的导出 一、基本思路 1.受力分析 x x 0 2. 牛顿定律 3.振动方程 * 阜师院数科院 1.目标：建立描述物理过程的微分方程。 2.操作：物理过程由物理量的变化描述→选取物理量， 物理量的微分表示它的变化； 物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定 律等） →建立微分方程。 * 阜师院数科院 1.均匀弦的微小横振动 变化 二、几种基本的方程 * 阜师院数科院 A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程 弦的原长 现长 弦长的变化产生回到原位置的张力 * 阜师院数科院 沿x-方向，不出现平移 弦长 质量密度 B段的质量 沿垂直于x-轴方向 * 阜师院数科院 小振动： * 阜师院数科院 波动方程。 波速 * 阜师院数科院 D.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运动为受迫振动。 设单位长度上弦受力 ，则 dx 受力为 。 最后得受迫振动方程 * 阜师院数